Navier-Stokes方程组及相关模型的稳定性研究

The classical compressible Navier-Stokes system and related models describe the movement of the compressible fluid.They are the most widespread use and helpful.Our project will concentrate on the inviscid Navier-Stokes equations and the Navier-Stokes equations without heat conductivity cases. More precisely, we will focus on the existence and the stability of the nontrivial solutions of the above systems. Assume the density, velocity and absolute temperature take two distinct constant states at infinity or at boundary, we will seek the nontrivial solutions which are the perturbations of the profile of the corresponding Riemann problem of the Euler equations or Navier-Stokes system. In summary, we will investigate the global stability of the stationary wave, rarefaction wave and travelling wave and their composition wave. We hope that our study in this project will contribute to illustrate the wave phenomenon of the compressible fluid comprehensively.

可压Navier-Stokes方程组描述了粘性可压缩流体的运动,是应用最为广泛的一类流体力学方程.本项目拟研究粘度消失或者热传导效应消失情况下的Navier-Stokes方程组解的性态.更准确的说我们将关注上述方程组非平凡解的稳定性,即给定流体在初始和边界处的条件及无穷远处的状态,我们希望上述方程组的非平凡解是其对应Euler方程或Navier-Stokes方程黎曼问题解的一个扰动. 基于此设想,我们将研究上述方程组的边界层解,稀疏波,粘性激波等非平凡解的整体稳定性.这些将有助于更全面地解释流体运动研究中的波现象.

近年来.对以可压Navier-Stokes方程组为典型特例的一类带耗散项的非线性双曲守恒律组的探究.是目前国内外数学工作者所关心的一个热门问题.在过去几十年里,对Navier-Stokes方程组的数学理论研究已经取得了令人鼓舞的成果.这些研究主要集中在方程组解的存在性、稳定性、大时间性态、正则性以及宏观流体力学极限等问题上,这些成果加深了我们对于流体力学的知识和理解.利用稀疏波,激波,粘性接触间断及其所构成的复合波就足以刻画带耗散项的非线性双曲守恒律组整体解的大时间性态.但是对初边值问题,由于边界的出现,为了准确描述其大时间渐进行为,除了上述三类基本波外,我们还得引进一类新的非线性波即边界层解.本项目是在前期研究工作的基础之上,着重考虑粘度消失或者热传导效应消失的情况下,可压Navier-Stokes方程组及其相关模型的大时间性态.具体来说,我们将研究在给定适当的初边值条件以及位势在正负无穷进处出现不同的边值时: (1)当粘性效应消失,仅具有热传导效应时,方程组Cauchy问题/初边值问题基本波和边界层解的稳定性;(2)对于一维辐射欧拉方程, Cauchy问题/初边值问题基本波和边界层解的稳定性.