Navier-Stokes方程组及与其它效应相耦合的方程组的适定性问题

本项目主要研究三维完全可压Navier-Stokes方程组经典全局弱解的存在性、并且进一步考虑辐射效应时全局弱解的存在性等适定性问题。对于这些问题的研究既可以完善可压流体方程组的适定性理论, 也丰富了偏微分方程基础理论。 另一方面, 由于其带能量方程的Navier-Stokes方程组更能反映实际背景，可以对处理某些实际的问题提供严格的数学理论基础, 也可以为后续研究更一般条件下完全可压Navier-Stokes方程组的相关性质奠定基础。

本项目主要研究目标解决部分Navier-Stokes 方程组及与其它效应相耦合的适定性问题。围绕该本项目研究目标和内容，本项目得到主要研究成果有以下几方面：.1)讨论了当大初值和外力满足球对称结构时，二维可压的热传导流的完全Navier-Stokes方程组的适定性问题。通过在一个环形区域内对逼近解取极限的方法，得到了该系统弱解的全局存在性。首先推导逼近解的物理量在流体区域内的先验估计，然后创新性的结合Orlicz理论，得到了新的关于速度和温度在时空区域上的一致可积性，最后采用与Hoff等人的取极限方法，证明了该极限函数确实在分布意义下满足质量方程和动量方程(定义的圆形区域包含原点)。原先在Hoff的结果中，极限函数只在挖去圆心的区域内满足动量方程，因此结果改进了Hoff的结果。.2) 考虑自引力条件下的等熵可压的Navier-Stokes方程组，假设外力有界时，要求空间区域有界且是Lipchitz的。证明了在γ∈(3/2, 5/3]条件下，初始能量有限，则系统在有界外力做功下，方程组的弱解的能量关于时间一致有界(这说明粘性项与Dirchlet 边界条件阻碍系统的总能量的增加)。并把该系统的解的全有界轨道和吸引子的存在性推广到了绝热指数γ> 3/2的情形。目前Feiresl关于有界吸引集所要求的指数γ> 5/3能否降低到γ>3/2，目前仍是公开问题，注意到有界吸引集性质必导致能量有界，因此从能量有界意义下，改进了Feiresle的结果。.3) 流体方程组及其与辐射效应耦合时，考虑了一维可压等温Euler－Boltzmann 流Cauchy问题，通过采用补偿列紧的方法，得到了该系统在L∞意义下全局弱熵解的存在性。同时还考虑了多维球对称情形Euler–Boltzmann辐射流，并得到了该系统的全局弱熵解的存在性。值得一提的是，结果中允许真空条件下初值可以任意大。. 除了以上主要结果外，本项目还研究了等熵可压的Navier-Stokes方程组问题全局径向弱解的存在性、Navier-Stokes 方程组及与其它效应相耦合的适定性问题如三维非相对辐射流的Cauchy 问题、两种无粘的不相互渗透的不可压磁流体的Rayleigh-Taylor不稳定性问题等问题，详细内容可参见研究成果部分。