谱系数方法的计算及其在求解高振荡积分方程中的应用

Spectral expansions in orthogonal polynomials such as Chebyshev、Legendre and Jacobi polynomials are widely used in the field of computational mathematics， in particular in numerical solutions of partial differential equations. In practical computations, the application of spectral expansions requires fast and accurate calculation of spectral expansion coefficients and this issue is a challenging problem in the area of spectral methods. In this project, we shall investigate the calculation of spectral expansion coefficients of analytic functions and explore two different strategies by extending the definition of spectral coefficients to complex plane. The first strategy focuses on the accurate computation of spectral coefficients and we shall investigates an algorithm to minimize the relative error of each spectral expansion coefficients. The second strategy focuses on the fast computation of spectral expansion coefficients and a fast FFT-based algorithm will be studied which maximizes the computational efficiency of spectral coefficients, especially we shall establish an O(NlogN) algorithm for computing the first N Jacobi coefficients. Based on these results, we shall give some applications of spectral coefficient methods to numerical solutions of first kind Volterra integral equations with highly oscillatory kernels. Our results on the computation of Jacobi coefficients in this project will solve an open problem presented by the leading mathematician Arieh Iserles.

正交谱展开如Chebyshev、Legendre和Jacobi等广泛的应用在计算数学,尤其是在偏微分方程数值解领域。谱展开的应用中要求能够快速精确的计算谱展开系数，这是目前谱方法研究的一个热点课题。本项目将以解析函数的谱展开系数的计算作为研究目标，通过扩展谱系数的定义到复平面上，探索两种不同的计算思路。第一种思路是谱系数的高精度计算,研究建立谱系数相对误差极小化的算法。第二种思路是谱系数的基于FFT实现的高效率计算，尤其是建立计算前N个Jacobi系数的O(NlogN)次复杂性的快速算法。以此为基础，讨论谱系数方法在计算含有高振荡核的第一类Volterra积分方程中的应用。课题的关于Jacobi系数计算的结果将解决国际顶级数值分析专家Arieh Iserles提出的一个公开难题。

多项式谱方法如Chebyshev、Legendre以及Gegenbauer、Jacobi谱方法等广泛的用于逼近论、数值积分、偏微分方程数值解等不同的领域，它的主要优势在于收敛速率与函数的光滑性密切相关。对于充分光滑的函数，则多项式谱方法可以使用比较少的逼近项数达到的预先设定的精度。. 本项目主要研究多项式谱方法的逼近理论分析和快速算法，取得的主要结果如下：.（1）提出一种新的方法得出Gegenbauer展开系数的路径积分式，建立Gegenbauer展开系数的最优衰减速率估计，并对比Chebyshev和Legendre展开系数的衰减速率；.（2）分析了Chebyshev展开系数的计算稳定性，证明了每个Chebyshev展开系数在复平面上都存在一个最优的路径使得该系数的相对误差最小，因而基于最优路径能够高精度的计算Chebyshev展开系数；.（3）研究了Jacobi与Chebyshev展开系数的转化，提出了一种基于重组Chebyshev系数来计算Jacobi系数的两类算法。第一类算法是基于使用固定的路径来计算所有的Chebyshev系数，计算过程可以由FFT快速实现，并且关于绝对误差能够达到高精度。第二类算法是基于使用最优路径计算每个Chebyshev系数，因而Jacobi展开系数可以达到相对误差的高精度。. 以上的这些研究结果有助于理解多项式谱方法的理论。例如对于基于Chebyshev和Legendre展开的谱方法，当函数的奇异点在区间外部时，则Chebyshev谱方法将比Legendre谱方法快O(N^{-1/2})倍，这里N是两种谱方法的项数。