渐近周期Hamilton系统同宿轨的研究

The Hamiltonian system occurs in many mechanical systems, which can be used to describe the motion of the objects in the systems. But it is complicated to solve this system. Since Rabinowitz showed the existence of periodic solutions for Hamiltonian systems with the variational methods in 1978, the variational methods became a powerful tool in looking for the solutions of Hamiltonian systems. However, we have to overcome the difficulty of the lack of compactness for embedding theorems if we use the variational methods to prove the existence of homoclinic solutions for Hamiltonian systems. For this purpose, Rabinowitz proposed the periodic and the coercive conditions. In this project, we consider the asymptotical periodic Hamiltonian systems. For the asymptotical periodic Hamiltonian systems, we hope to obtain the compactness by using the concentration-compactness principle and the representation of (PS) sequences to analyze the reasons of the lack of compactness. Under the superquadratic, subquadratic, asymptotic quadratic and mixed nonlinear conditions, we show the existence and multiplicity of homoclinic orbits for asymptotic periodic Hamiltonian systems.

Hamilton系统在许多力学系统中出现，它可以用来描述系统中物体的运动行为，但是要求出该系统的解是复杂的。直到1978年Rabinowitz利用变分法证明Hamilton系统周期解的存在性后，变分法就成了寻找该系统解的有力工具。然而要利用变分法证明Hamilton系统同宿轨的存在性，就必须解决空间嵌入失紧的困难。为此，Rabinowitz提出了周期性和强制性条件。在本项目中，我们考虑渐近周期Hamilton系统。利用集中紧性原理和(PS)序列表示，对相应泛函的(PS)序列进行研究，分析序列失紧的原因。在不同非线性增长条件下，给出渐近周期Hamilton系统同宿轨的存在性和多重性。

Hamilton系统丰富的物理背景引得了许多数学家的研究。本项目使用变分法和临界点理论研究了Hamilton系统同宿轨的存在性和多重性，以及全空间上几类偏微分方程解的存在性和多重性。对于一类渐近二次Hamilton系统，我们首先利用一类新的强制性条件得到了带权空间的紧嵌入，然后利用广义山路引理得到了同宿轨的存在性。我们的结果改进了已有的渐近二次条件，对已有的结果进行了补充。在该项目研究的启发下，我们还研究了一类四阶Kirchhoff型方程，引入了新的Kirchhoff型函数，推广了已有的结果；还研究了一类Klein-Gordon-Maxwell方程，引入了新的超线性条件，得到了带小扰动的KGM方程两个解的存在性。我们最后考虑了全空间上的薛定谔方程，首先在利用Wang和Han提出的强制性条件下，我们得到了一类不带权的次线性薛定谔方程解的存在性，其次，依然在该强制性条件下，我们得到了一类带凹凸非线性的薛定谔方程多解的存在性，此时我们不需要(AR)型条件。