非负张量和超图的谱对称性与稳定性研究

Tensor analysis arises from differential geometry and theoretical physics, and has both theoretical significance and practical value in algebraic topology and continuum mechanics etc. In Euclidean space with a given orthonormal basis, the representation of a tensor with respect to the basis is a hypermatrix. This project will investigate the spectra of hypermatrices. As a generalization of matrices and representation of hypergraphs, the spectral theory of tensors has been a hot topic in the fields of algebraic combinatorics and algebraic graph theory recently..The project will apply the algebraic geometry, algebraic toplology, group and module theory, and combinatorial analysis, to investigate the spectral symmetry and stabilizing property of nonnegative tensors. We focus on the corresponding two key parameters: the cyclic index and the stabilizing index, and will give exact expressions or bounds for them. We will characterize the combinatorial structural property of nonnegative tensors by the above two parameters, including the structures of subtensors and product of tensors. We will apply those results to investigate the structure of hypergraphs, and establish the relationship between the above parameters and some structrual parameters of hypergraphs such as path cover number, matching number, diameter and chromatic number etc. The project will apply the modern mathematical theories and methods comprehensively, and focus on the differences between the tensors of higher order and matrices. The research is not a trival generalization, and also has a strongly application. The expected results will not only enrich the research on the combinatorial property of tensors but also push the research on the algebraic method of characterizing the structure of hypergraphs.

张量分析来源于微分几何和理论物理等研究，在代数拓扑以及连续介质力学等领域有着重要理论意义和应用价值。给定欧氏空间的标准正交基，张量在基下的表示为超矩阵。本项目即研究张量的超矩阵形式的谱。作为矩阵的推广和超图的表示，张量的谱理论已成为当前代数组合与代数图论领域的研究热点。.本项目拟应用代数几何、代数拓扑、群与模论以及组合分析的理论与方法，研究非负张量的谱对称性与稳定性，重点刻画与之对应的两个关键参数：循环指数与稳定指数，包括它们的精确表示或界定；通过这两个参数刻画非负张量的组合结构性质，包括子张量和积张量的结构；并应用于超图的结构性质研究，建立上述参数与超图的结构参数（如路覆盖数、匹配数、直径、色数等）的联系。本项目综合运用现代数学理论与方法，重点抓住高阶张量与矩阵的差异性，研究内容不是平凡的推广，且具有很强的应用性。预期结果将不但丰富张量的组合性质，而且将推动超图结构描述的代数方法研究。

本项目应用代数、代数几何等理论与方法，研究非负张量和超图的谱对称性和稳定性，重点刻画与之密切相关的两个谱参数：循环指数和稳定指数，包括非负（对称）弱不可约张量的循环指数的显式表示，谱对称性的组合刻画，对应于谱半径的射影特征簇的维数，稳定指数的上界和显式表示，非负弱不可约张量的组合结构性质，超图的结构性质与张量谱性质的联系，超图的特征多项式的递归表示和显式表示等。.应用群论和模论，系统刻画了非负张量和超图的谱对称性，给出其结构刻画以及循环指数的显式表示，把求非负对称弱不可约张量和连通超图的循环指数这一非线性问题转化为线性问题。应用模论，建立了非负对称弱不可约张量和连通超图对应于谱半径的射影特征簇的模结构，给出该射影特征簇的模分解和稳定指数的计算公式，把求稳定指数这一非线性问题转化为线性问题，发现非负弱不可约张量可以有不止一个特征向量对应于谱半径，反映了张量和矩阵的谱差异性。.应用代数几何正则映射，证明了非负弱不可约张量对应于谱半径的射影特征簇是零维的，即仅有有限个特征向量对应于谱半径，丰富了张量谱理论。应用代数几何泊松公式，给出类星超图的特征多项式计算的递归和显式表示的组合方法，这是迄今为止给出的最广泛一类超图的特征多项式显式计算方法。.本项目关注张量和矩阵、简单图和超图在谱性质方面的差异，克服了由张量谱非线性问题导致的困难，应用代数理论把非负对称弱不可约张量的循环指数和稳定指数的非线性问题转化为线性问题，应用代数几何证明了张量谱的一个基础性结果，即对应于谱半径的射影特征簇是零维的。本项目的研究为张量和超图谱研究的提供代数和代数几何的方法。.本项目组在Trans Amer Math Soc, Proc Amer Math Soc, J Combin Theory Ser A, J Algebra Combin等重要学术期刊上发表论文19篇。举办全国性学术会议2次，应邀参加学术会议并作大会报告1次。举办图论暑期系列讲座3次。指导出站博士后2人，培养毕业博士生3人、硕士生7人。