超图的张量表示及其谱理论研究

In the recent years, with the establishment and development of the spectra theory on tensors, the theoretical foundation on the research topic on the tensor representative of hypergraphs and their eigenvalues have been built. Thus, the spectra theory of graphs based on the theory of the eigenvalues of matrices is enriched. This project is going to investigate the tensor spectra of hypergraphs and their connections with the structural properties of hypergraphs. The current project consists of the following three parts. 1. To study the lower order tensor representative of the uniform hypergraphs and their spectra; 2. Investigating the properties of the tensor spectra of the uniform hypergraphs; 3. Depicting the structural properties of hypergraphs by their tensor spectra. There are many problems to be solved because the study on the tensor spectra of hypergraphs is a new topic. We hope that, by carrying out this project, we can make some methodical and theoretical breakthroughes on the problems mentioned above, and make significant progresses on the study of the spectra theory of graphs and hypergraphs and their applications.

近年来，随着张量特征值理论的建立和完善，使得超图的张量表示及其特征值研究有了坚实的理论基础，从而可以丰富之前以矩阵特征值理论为基础的图谱理论。本项目计划研究超图张量谱及其与超图结构性质之间关系问题。主要内容包括：1. 一致超图的低阶张量表示及其谱问题研究；2. 一致超图的张量谱性质研究；3. 超图张量谱刻画超图的结构性质研究。因为超图的张量谱研究是一个新的研究领域，其中有许多问题有待解决。我们希望通过本项目的研究工作，能够在理论研究和方法创新上有所突破，对图与超图谱理论及其应用研究产生推动作用。

图谱理论一直是图论研究领域非常活跃的分支之一。近10多年来，随着张量特征值的引入和发展，促进了超图谱理论的研究。本课题研究主要集中在超图的张量谱理论方面，同时，也在一般图的谱研究中做了一些工作。主要包括对于k-一致超图，我们给出了超图的等周数概念，并利用由超图Laplace张量谱定义的分析连通度，得到了k-一致超图等周数的“Cheeger不等式”；对于一般超图，定义了一种齐次多项式，得到了（m, m-1）-超图类的Motzkin-Straus定理的推广形式，并由此得到了（m, m-1）-超图谱半径与团数的关系。同时，得到了k-一致s-超树H-特征值谱半径的一个紧的下界和一个上界，推广了之前有关树的谱半径的一个经典结果；得到了具有完美匹配的r-一致超树的H-特征值谱半径的最大值，并刻画了达到最大值的r-一致超树的结构。考虑了Brouwer猜想这一近年来图谱理论研究中的一个受关注的问题，给出了单圈图类、双圈图类的拉普拉斯谱前两大特征值和的紧的上界，并刻画了达到上界的极图。总之，在课题拟定的研究问题方面取得了一系列有意义的研究成果，推进了相关问题的研究工作。