拟行列式在一类广义非交换可积系统中的应用

Recently, extension of soliton theory and integrable systems to noncommutative space-time has been studied by many authors. One natural way in which the variables fail to commute is because of a quantization of the phase space resulting in the normal product being replaced by a Moyal product. Besides, matrix and quaternion versions are other reasons giving rise to noncommutativity. Due to the existence of fermionic field variables and bosonic field variable, supersymmetric equations can be treated as a special kind of noncommutative integrable systems. In this project, we will not consider concrete reasons for noncommutativity, but formally assume dependent variables in a noncommutative integrable system are noncommutative, that is, AB≠BA. In this sense, our research results are of high generality and applicable to the above-mentioned cases. Quasideterminants are defined for matrices over division rings. It plays the same important role in noncommutative algebra as determinants in commutative algebra. Quasideterminants have been effective in many areas including noncommutative integrable systems, noncommutative symmetric functions, quantum algebra and Yangians. To a certain extent, quasideterminants should be regarded as preferred variables of τ functions in noncommutative integrable systems. Based on previous work, in this project, we are going to investigate construction and integrable properties, especially quasideterminant solutions of noncommutative integrable systems and supersymmetric equations by using Darboux transformations and other tool, extend Sato theory to noncommutative integrable systems and explore whether τ functions in noncommutative integrable systems could be expressed in terms of quasi-Schur functions or not.

近年来，孤子理论和可积系统到非交换时空的延伸得到很多人的研究。非交换的一种自然解释是相空间的量子化致使通常的乘法为Moyal积取代。此外还有矩阵和四元数所引起的非交换性质。超对称方程由于费米量和玻色量的存在也可看作一类特殊的非交换可积系统。本项目所研究的非交换可积系统不考虑引起非交换的原因，只是形式地假设因变量AB≠BA，研究结果具有很强的普适性，适用于以上几种情形。拟行列式是针对除环上的矩阵定义的，它在非交换代数中的地位与行列式在交换代数中的地位同等重要。拟行列式在非交换可积系统、非交换对称函数、量子代数和Yangian等多个领域中都有重要应用，在一定程度上是非交换可积系统中'τ'函数的首选表示。本项目拟在已有工作基础上，利用Darboux变换等工具研究非交换可积系统与超对称方程的构造与拟行列式解，推广Sato理论到非交换情形，探索非交换可积系统的'τ'函数是否有拟Schur函数表示。

近年来，孤子理论和可积系统到非交换时空的推广得到很多人的研究，关于经典可积系统相应的非交换系统的可积性质有着极大的研究兴趣。这不仅因为在非交换规范场论中，非交换孤子在某些情形下正是低维D膜本身；也因为对非交换可积系统的孤子解的分析在N=2弦理论中有重要应用。引起非交换的原因有很多，最常见的是矩阵、四元数乘积和相空间量子化导致的Moyal乘积都是非交换的。我们所研究的非交换可积系统不考虑引起非交换的原因，只形式地假设因变量乘积不可交换，研究结果具有很强的普适性，适用于以上几种情形。拟行列式作为非交换代数中的主要组织工具，在非交换可积系统、非交换对称函数、量子代数和Yangian等多个领域都有重要应用。越来越多的研究结果表明，拟行列式在表示非交换可积系统以及超对称方程的解等方面具有不可替代的优势。孤子理论中的两个核心问题是寻找新的可积系统和判定方程的可积性质。本项目的主要研究内容包括利用达布变换研究非交换可积系统与超对称方程的构造与拟行列式解，推广经典可积系统理论中的Sato理论到非交换情形，探索非交换可积系统与拟Schur函数的联系。. 项目组成员在非交换可积系统的构造与拟行列式解方面取得了重要进展。首先研究了一个非交换q形变的2维Toda晶格方程，利用达布变换得到其拟行列式解。其次利用达布变换研究了非交换带源KP方程族和非交换连续和离散的三维三波的拟行列式解以及精确解。项目组还在一些著名的可积系统的关系、矩阵积分解、谱问题、带源方程和约化等方面取得了重要进展。项目组成员建立了非线性全离散KP方程及其连续极限与双线性全离散KP方程及其连续极限之间完整清晰的关系图；把随机矩阵理论中的矩阵积分引入到全离散KP方程族及其耦合系统，得到其矩阵积分解；系统地阐述了孤子方程的行列式解和Pfaffian解，推广了经典的Kaup-Newell方程族和AKNS方程族等，利用达布变换研究了广义自对偶Yang-Mills方程和推广的C型KP方程族的孤子解等；研究了孤子理论中最基础也是最重要的离散KP方程族和离散BKP方程族的约化等。项目组关于非交换可积系统的研究结果不仅推广了拟行列式在非交换可积系统中的应用，也彰显了拟行列式在表示非交换可积系统和超对称方程的解方面的优势。项目组关于经典可积系统方面的研究结果从理论上丰富和完善了孤子理论，也加深了对其的理解。