变分方法在耗散系统运动方程中的应用研究

There is no difference between the conservative force and non-conservative force in phisics at the micro level. However, in the field of integer-order calculus, while the conservative system compatible with variational principle the dissipative system equations of motion cannot be obtained by the principle of minimum role. This is a puzzled problem in mechanics research. In recent years, the study of fractional order variational failed to solve the above problem. Because the left and right form of the combination of the fractional order derivative cannot give a reasonable explaination to the damping of the mechanics of dissipative system. This project intends to establish a new fractional derivative meet the product rule, characteristic of semigroup and the chain rule. By comparing with the existing various kinds of fractional order derivative concepts and numerical simulation analysis, the rationality of the new comcept wll be disscused. Under the new derivative, the equation of motion of dissipative system will be deduced by the least action principle. The solvability of fractional order differential equations with variational structure, spectrum theory, extreme value theory, Green function and function space theory and other basic theory will be established. In practical applications, we will explore some fractional diffusion model of ocean wave mechanics and analyze its dynamic characteristics. This topic will present stage for the application of variational method to the study of dissivative mechanical system and the fractional order derivative equation of motion in the description of viscoelastic fluid. Moreoveration, it may brings ideas to the physical explanation to the fractional order derivative.

物理学上从微观层次来讲并没有保守力与非保守力之分，但是在整数阶微积分领域保守系统与变分原理相容而耗散系统的运动方程则无法由最小作用原理获得，这是力学研究中令人困惑不已的问题。近年来关于分数阶变分的研究未能解决上述问题，因为左、右分数阶导数的组合形式描述耗散系统的阻尼项在力学上难以解释。本项目拟建立满足导数的乘积法则、半群性质、链式法则等性质的分数阶导数的新定义，通过与现有各种分数阶导数概念的比较和数值模拟分析其合理性。在新的导数定义下由最小作用原理推导出耗散系统的运动方程，研究具有变分结构的分数阶微分方程解的存在性、谱理论、极值原理、Green函数以及函数空间理论等基础理论。在实际应用方面，我们将探索建立若干海洋波动力学的分数阶扩散模型并分析其动力学特征。本课题的研究为利用变分法研究耗散系统以及分数阶导数描述的粘弹性流体中的运动方程奠定基础，并为分数阶导数的物理解释带来新思路。

对分数阶微分方程定性理论，目前尽管人们在解的存在性的研究上已取得了一些成果， 但其理论框架远不如整数阶方程完善，尚有大量的基础性的问题亟待进行深入的研究，如：耗散系统的运动方程可否以及如何由分数阶变分导出；变分法在分数阶微分方程中的应用以及分数阶谱理论的建立；若干反应扩散模型的建立等。. 本项目的研究侧重于利用非线性泛函分析方法研究分数阶微分方程定性理论，同时考查海洋内波波动等应用科学领域中分数阶系统模型的建立与分析。如：现有分数阶导数概念的比对分析与分数阶导数新定义的引入；变分法及其它非线性泛函分析方法在分数阶微分方程可解性研究中的应用；海洋波动力学中分数阶模型的建立及其动力学分析。 . 我们在以下方面取得重要结果。利用非线性分析中的单调算子理论结合分数阶特殊函数理论讨论了一类分数阶初值问题迭代解的存在性，获得了一系列新的判据。在适型分数阶导数的研究方面取得了一系列研究成果。新导数有很多很好的性质，不同于已有的分数阶导数，它是局部概念。我们借助于其格林函数的性质以及其满足分数阶微分中值共识建立了若干存在性准则。 在非局部边界值条件下， 特别是积分边值条件下，获得了解的存在性与多解性条件，推广了已有文献中的成果。利用变分原理研究多点边值问题系统无穷多解的存在性。在已有文献中，变分原理和临界点理论主要用于周期解以及Diriclet边值问题解的存在性与多解性的研究，尚未见到变分原理在非局部问题上的应用。在新构造的空间上，我们建立了一类多点边值问题解的变分结构，获得了若干新的存在性结果。研究建立了若干海洋波动力学的分数阶模型，并进行了其动力学分析。. 本项目在分数阶微分方程系统解的存在性、多解性、迭代解的存在性、分数阶波动力学模型的建立分析等方面获得了一系列研究成果。共培养研究生14名，带领3名年轻教师进入该领域从事合作研究，前后邀请10名国内外专家教授学术交流，发表SCI收录论文20余篇，EI论文1篇，其它期刊论文若干。获得青岛市自然科学二等奖1项。目前正在申报山东省自然科学奖。