变分方法、拓扑方法在分数阶微分方程中的应用

We utilize variational and topological methods in nonlinear functional analysis to investigate the existence results and the properties of solutions for several classes of fractional differential equations. The main contents include as follows：1. in the case of potential functions that are sign-changing and may be negative, we improve and promote some existing critical point theorems to study the existence of solutions(mulitiplicity、positive、sign-changing、ground state solutions) and the properties of solutions for fractional Schrödinger and Laplacian equations；2. by virtue of (S)+—type degree theory, we study the existence results and the properties of weak solutions for fractional impulsive differential equations involving asymptotically linear growth at infinity. 3. using topological methods and monotone iterative techniques, we study the existence and uniqueness of solutions for fractional boundary value problems, and moreover without monotonicity conditions, we use math softwares, such as MATLAB, to provide iterative algorithm and approximation format for solutions. The subject considers some hot topics in nonlinear functional analysis, it can contribute not only to the applications of variational and topological methods in nonlinear differential equations, but also to the study of applied mathematics and nonlinear problems in mathematical physics.

本项目利用非线性泛函分析中的变分方法和拓扑方法等研究几类分数阶微分方程解的存在性和解的性质。这主要包括：1、势函数可能取负值等情形下，通过发展和完善现有的临界点定理研究分数阶Schrödinger方程和Laplacian方程解(多解、正解、变号解、基态解)的存在性和解的性质；2、借助(S)+型度理论，在非线性项无穷远处渐近线性增长情形下，研究分数阶脉冲边值问题弱解的存在性和解的性质；3、运用拓扑方法和单调迭代方法研究分数阶边值问题解的存在唯一性，并在无单调性条件下借助数学软件(例如MATLAB)给出解的迭代算法和逼近格式。本项目是当前非线性泛函分析及其应用领域中一个十分活跃的方向，具有重要的应用价值。这些问题的解决不仅拓宽了变分方法和拓扑方法在非线性微分方程研究中的应用范围，而且对应用数学和数学物理中的非线性问题的研究具有重要意义。

本项目利用非线性泛函分析中的变分方法和拓扑方法等研究几类非线性方程解的存在性和解的性质。这主要包括：1、势函数可能取负值等情形下，通过发展和完善现有的临界点定理研究分数阶Schrödinger-Maxwell方程多解的存在性和解的性质；2、借助(S)+型度理论，研究二阶脉冲边值问题弱解的存在性和解的性质；并运用Ricceri变分原理和山路定理研究分数阶脉冲边值问题解的存在性及其迭代格式；3、运用拓扑方法和单调迭代方法研究分数阶边值问题解的存在唯一性，并将此方法推广到分数阶差分方程，得到了一些较好的结果。本项目是当前非线性泛函分析及其应用领域中一个十分活跃的方向，具有重要的应用价值。这些问题的解决不仅拓宽了变分方法和拓扑方法在非线性微分方程研究中的应用范围，而且对应用数学和数学物理中的非线性问题的研究具有重要意义。