分数阶拉普拉斯方程及分类猜想的研究

We will study partial differential equaitons from mathematics，physics and biology， including a conjecture posed by two famous mathematicians Daomin Can and Yanyan Li in 2008. Recently, problems related to fractional Laplacian is one of the hot issues. We will mainly solve the following important problems. The first one is to obtain the symmetry of the solutions for the fractional Laplacian with gradient term. The second one is to prove the existence of solutions for fractional laplacian with critical and supercritical power in whole space. The last one is to deal with the classification of the solutions for Hardy-Sobolev operator. For the first and the third problems,the outline of proofs is: firtly, we derive the equivalence between partial differential equations and integral equations, secondly, in order to conclude the properties of partial differential equations, we resort to integral equations. We will apply the method of moving planes in integral forms. For the second problem, we will use the well-known Rabinowitz bifurcation theory. If we can solve all of the above problems, we will consider the heat equations based on the second problem.

我们计划研究的问题是来自于数学、物理或生物中的偏微分方程，包括解决著名数学家Daomin Cao 和 Yanyan Li在2008年提出的猜想。特别是关于分数阶Laplacian的问题是当今研究的热点之一。 我们将解决以下几个重要问题：一：带有梯度扰动项的分数阶Laplacian方程解的对称性，二：全空间上分数阶Laplacian方程在临界和超临界下解的存在性,三: 解决Cao 和 Li 提出的关于Hardy-Sobolev 算子解的分类的猜想。 针对第一和第三个问题，我们解决问题的大体思路是：首先研究偏微分方程和积分方程的等价性，其次为了得到偏微分方程的性质我们转化为研究与之等价的积分方程。所利用的方法是积分形式的移动平面法，针对第二个问题我们利用著名的Rabinowitz 分歧理论。如果以上问题都能解决了，在第二个问题的基础上我们将研究热方程.

分数阶拉普拉斯算子因其在很多领域有极强的应用背景成为近期的研究热点之一，例如在金融、概率中都有广泛的应用价值. 我们从数学角度入手，对该算子做了详细的研究. 为其广泛的应用奠定了良好的理论基础. 主要的研究内容以及重要结果包含以下几个方面: .1.我们(W. Chen & Y. Fang)研究了高阶或分数阶Hardy-Sobolev型方程. 通过建立积分方程与偏微分方程的等价性, 利用积分形式的移动平面法，我们证明了积分方程在临界情形解的对称性以及次临界情形下正解的不存在性. 通过等价性结果，从而得到了偏微分方程的相应结论..2.我们(W. Chen, Y. Fang & R. Yang)研究了上半空间具有Dirichlet边界条件的非局部的分数阶拉普拉斯方程的刘维尔型定理. 我们通过柯西主值的形式定义了非局部分数阶拉普拉斯算子. 为了利用积分形式的移动平面法，需要证明积分方程与偏微分方程的等价性. 为此，我们首先证明了唯一性结果. 借助于唯一性结果，我们证明了等价性. 通过借助于Kelvin变换，进一步减弱了全局可积的条件，从而利用积分形式的移动平面法得到了正解的不存在性. .3.我们(T. De&Y. Fang)考虑了上半空间的分数阶拉普拉斯系统. 我们利用唯一性以及极大值原理证明了积分系统和分数阶拉普拉斯方程系统的等价性. 通过压缩映射原理得到了正则性. 利用积分形式的移动平面法得到了积分系统正解的不存在性. ..此类结果将关于拉普拉斯方程的一些结果推广到分数阶拉普拉斯方程或高阶方程. 关于正解的不存在性在研究先验估计中起到非常重要的作用.