Thurston定理在几何无限的有理映射中的推广

对奇点向前轨道有限的有理映射的Thurston拓扑分类定理是复动力系统的中心定理之一。自从该定理建立以来，国内外一批数学家致力于把Thurston定理推广到更一般的情形。到目前为止，这方面的研究已取得了两个具有代表性的突破。第一个是Hubbard, Schleicher, Shishikura 对Thurston定理在指数映射族中的推广。他们的论文发表在2009年Journal of American Math. Soc. 上。第二个是我国数学家崔贵珍（中科院数学所）和华人数学家谭蕾（法国）对Thurston定理在次双曲的有理映射中的推广。他们的论文已被Invent. Math.录用。 本项目旨在研究Thurston定理在几何无限的有理映射中的推广。我们的研究重心是对含有任意多个具有任意周期的以及典型旋转数的Siegel盘的有理映射建立Thurston类型的拓扑分类定理。

我们对含有Siegel盘的有理映射建立了拓扑分类定理， 更重要的是， 我们发现了这一定理能够用来研究Siegel盘边界的拓扑。 该领域中的一个著名猜测是由Douady和Sullivan在上世纪八十年代提出的:有理映射的Siegel盘都是Jordan域. 在这项研究中, 项目负责人把含有有界类型Siegel盘的有理映射的拓扑分类定理应用到对Douady-Sullivan猜测的研究中来. 项目负责人证明了对几乎每个旋转数, 多项式的Siegel盘都是边界含有至少一个临界点的Jordan区域. 除此之外, 项目负责人提出了一个证明Beltrami微分可积性的方法. 这是本项目取得的主要的两项成果. 第一项结果推广了Petersen-Zakeri之前对二次多项式建立的定理. 第二项结果使得trans-qc手术有了更大的应用范围.