芬斯勒几何中两个整体问题的研究

整体问题是芬斯勒几何中的重要研究内容，本项目着重研究其中两个问题，即特征值估计与调和映射理论。通过研究等周常数，给出第一特征值的Cheeger型估计。利用拉普拉斯比较定理，证明郑绍远型的特征值比较定理。通过Ricci曲率、S曲率，讨论Lichnerowicz型特征值下界估计。推广Li-Yau型的直径估计。研究常旗曲率Randers空间的第一特征值。研究一般映射（可能退化）的芬斯勒调和性，改进从球面出发的调和映射的部分刚性结果，证明目标为射影平坦Randers空间的调和映射的刚性。寻找目标流形为(alpha,beta)空间的调和映射存在性条件。上述研究将大大促进芬斯勒几何的发展，拓展芬斯勒几何分析领域。芬斯勒特征值的估计将加深对非线性方程的理解，一般芬斯勒流形间的调和映射存在性将给该领域的研究带来突破。本课题属国际前沿学科，将会在诸多领域有重要应用。

本项目主要研究了芬斯勒几何中调和映射问题、特征值问题及其具体空间的构造。1. 芬斯勒几何中的调和映射到存在性。利用Mo-Yang的结果，证明了从可反芬斯勒空间到某类Randers空间的调和映射存在性，这类Randers空间要求旗曲率被S曲率控制。该工作推广了黎曼几何中调和映射存在性定理，并且将目标流形推广到了非黎曼流形，这具有重要意义。2. 讨论了从芬斯勒流形到某类球面的稳定调和映射刚性问题。证明了，若球面上赋予的是局部射影平坦的Randers度量，并且其非黎曼部分足够小，则从任意可反芬斯勒流形到该球面的稳定调和映射一定是常值映射。这推广了黎曼几何中关于调和映射的著名刚性定理。3. 讨论了第一特征值与等周常数的关系。区分了内外法向下两个等周常数，以及保号函数对应的Sobolev常数，证明了它们对应相等。进而给出了第一特征值的一种Cheeger型估计。利用Sobolev常数，证明了Ricci曲率和S曲率非负的芬斯勒空间中有界区域的特征值有一个由其直径描述的正下界。并且，在完备非紧条件下，证明了多项式体积增长的芬斯勒空间的第一特征值为零。另外在Ricci曲率和S曲率的恰当条件下，将郑绍远教授的第一特征值比较定理推广到了芬斯勒几何中。4. 在讨论特征值的过程中，为了构造例子，我们研究了爱因斯坦的芬斯勒度量，给出了二次爱因斯坦度量的局部分类定理。