芬斯勒几何中若干整体问题的研究

The study of global problems is an important part of the research on Finlser geometry, this project will focus on three aspects of which, namely Finslerian sphere theorem, large-scale Finsler geometry and Finslerian index theory. In the part of Finslerian sphere theorem, we will give the new proofs of Rademacher’s sphere theorem, and establish Finslerian Abresch-Meyer sphere theorem and Berger's rigidity theorem. In the part of large-scale Finsler geometry, we will study Finslerian collapsed manifolds in the sense of the general Gromov-Hausdorff distance, extend Lipschitz distance to Finsler spaces, and establish Grove-Petersen's finiteness theorem for homeomorphism class, Cheeger's finiteness theorem and Yamaguch's finiteness theorem for diffeomorphism class in Finsler geometry. In the part of Finslerian index theory, we will investigate the Gauss-Bonnet-Chern theorem, the Bott residue formula and the Hirzebruch signature theorem in Finsler geometry. This project is an international frontier research, and will have important applications in many fields.

整体问题是芬斯勒几何中的重要研究内容，本项目着重研究其中三个方面，即芬斯勒几何中的球面定理、大范围芬斯勒几何和芬斯勒几何中的指标理论。在球面定理方面，我们将给出Rademacher球面定理的新证明，并建立芬斯勒几何中的Abresch-Meyer球面定理和Berger刚性定理。在大范围芬斯勒几何方面，我们将研究广义Gromov-Hausdorff距离下的芬斯勒塌缩流形，并将Lipschitz距离推广到芬斯勒空间上，同时还将建立芬斯勒几何中的Grove-Petersen同胚类有限性定理、Cheeger微分同胚类有限性定理和Yamaguch微分同胚类有限性定理。在指标理论方面，我们主要研究芬斯勒几何中的Gauss-Bonnet-Chern定理、Bott残数公式和Hirzebruch符号差定理。本项目属国际前沿学科，将在诸多领域有重要应用。

整体问题是芬斯勒几何中的重要研究内容，本项目从拓扑和分析两个方面来研究芬斯勒流形的整体性质。到目前为止，我们研究了芬斯勒几何中的Cheeger微分同胚类有限性定理、实芬斯勒向量丛上的Gauss-Bonnet-Chern定理、一般芬斯勒流形上的Hardy型和Rellich型不等式、一般芬斯勒流形上的测不准原理（Uncertainty Principles）、芬斯勒流形上的积分Ricci曲率、芬斯勒流形上的谱等问题。已发表3篇SCI论文，另外有4篇论文在投或者待投。所有论文都已已上传至arxiv.org上。