极小子流形的几何

In this program we mainly study properties of harmonic maps from surfaces into symmetric spaces, in particular, harmonic maps from two-spheres and tori into complex Grassmann manifolds, hyperquadrics and quaternionic projective spaces; Using theory of harmonic maps and bundles we will study geometry of conformal minimal surfaces in symmetric spaces, in particular, minimal tori and minimal two-spheres in complex Grassmann manifolds, hyperquadrics and quaternionic projective spaces, and study their Gauss curvature, Kaehler angle, classification and rigidity, and so on. Furthermore, we will study geometry of minimal submanifolds in complex Grassmann manifolds, including hyperquadrics and quaternionic projective spaces.

本项目主要研究曲面到对称空间中的调和映射的性质，特别研究二维球面和环面到复Grassmann流形、超二次曲面和四元素射影空间中的调和映射的性质；利用调和映射理论和丛理论研究对称空间中的共形极小曲面的几何，研究它的Gauss曲率、Kaehler角、分类以及刚性等，特别是研究复Grassmann流形、超二次曲面和四元素射影空间中的极小环面和极小二维球面的几何和分类，进一步研究复Grassmann流形包括超二次曲面和四元素射影空间中的极小子流形的几何。

本项目主要研究曲面到对称空间中的调和映射的性质，研究二维球面和环面到复Grassmann流形、超二次曲面和四元素射影空间中的调和映射的性质；研究复Grassmann流形、超二次曲面和四元素射影空间中的极小环面和极小二维球面的几何和分类，进一步研究复Grassmann流形包括超二次曲面和四元素射影空间中的极小子流形的几何。重要成果有：（1）在2019年, 构造了HP3中曲率为4/7、4/19、4/27的6个常曲率极小二维球面；给出了Q5中常曲率极小二维球面的分类；（2）在2020年，构造了HP4中曲率为4/9、4/25、4/37、4/45的常曲率极小二维球面；（3）在2021年，构造了一些新的HPn中常曲率极小2维球面，并首次在HP3中找到非齐性曲率为2/3的极小2维球面；分别在HP4、HP5、HP6中构造了曲率为1/2、2/5、1/3的非齐性极小2维球面，并证明在HPn（n>8）中存在曲率为2/n的非齐性极小2维球面;给出了Q4中常曲率极小二维球面的分类和表达式，并首次在Q4中构造了曲率为2/3的非齐性极小2维球面; （4）在2022年,在CPn和Qn-1中都极小的二维球面中，构造了许多高Degree常曲率全纯二维球面和非齐性常曲率极小二维球面；证明（实、复、四元素）Grassmannians和定向实Grassmannians及其乘积流形（维数>6）张成的锥都是面积最小的，部分6维乘积流形张成的锥也是面积面积最小的。