f-极小子流形和共形平坦流行的刚性问题及几何拓扑性质

Stress-energy tensor is a useful tool for investigating the energy behaviour of the critical point of energy functional, and also has important applications in geometric analysis. In this project, we will use the stress-energy tensors to establish monotonicity formulae for the relevant geometric quantities on locally conformally flat manifolds and weighted manifolds, and then deduce vanishing theorems under growth conditions and will give their geometric applications. By caculating the laplacian of some geometric quantities, we can get a differential inequality. We will investigate the vanishing theorems for soluitions of such differential inequality and give their geometric applications in specific geometry model. Another major object of the project is the global rigidity phenomenon of Riemannian manifolds, which includes Bernstein type theorem for submanifolds and global rigidity theorem for conformally flat manifolds. Furthermore, we will study the relationship between curvature and the geometric and topological structure of subamnifolds with constant weighted mean curvature, especially for f-minimal submanifolds, and their topological structure at infinity.

应力-能量张量是研究能量泛函临界点能量行为的重要工具，在众多几何分析问题中有着重要的应用。我们将利用应力-能量张量在局部共形平坦流形和weighted 流形上建立相关几何量的单调不等式，然后在增长性条件下得到消灭定理并给出几何应用。通过计算某些几何量的Laplacian可以得到一类微分不等式，我们将研究其解的消灭定理并应用到具体的几何模型中得到刚性定理。本项目的另一个主要方面是研究黎曼流形的一些整体刚性现象，包括f-极小子流形的Bernstein型定理和共形平坦流形的整体刚性问题，同时我们还将研究常weighted平均曲率子流形，特别是f-极小子流形的曲率与几何拓扑结构的关系，以及无穷远处的拓扑结构。

本项目遵照计划书执行，基本完成了预期目标。研究成果如下：.1) 当weighted流形上具有weighted Sobolev 类不等式时，我们对一类椭圆不等式证明了Liouville 类定理，把它应用到平均曲率流中的self-shrinkers中，我们可以相应得到一些整体刚性定理。.2) 我们研究了各种不同外围空间中完备子流形的几何与拓扑结构。当完备非紧子流形的第二基本形式平方与平均曲率平方满足一定的不等式，或者子流形的全曲率小于某个具体的常数，或者子流形的第二基本形式模长满足一定的衰减条件时，我们证明了L^2高阶调和形式的消灭定理。.3) 当黎曼流形中浸入子流形具有平坦法丛时，我们从两个方面来研究它的几何与拓扑结构。首先假设子流形紧致且满足某些逐点pinching条件，并且外围空间具有纯曲率张量和非负迷向曲率，则子流形的贝蒂数全为零。其次，考虑欧式空间中具有有限全曲率的完备非紧致子流形，当2<= p<= n-2时，我们证明了所有L^2 调和p-形式所构成的空间是有限维数的。.4）当局部共形平坦流形的无迹Ricci张量满足一定的积分pinching条件，并且数量曲率非正或者满足某种夹逼条件时，我们分别得到了L^2 调和1-形式的消灭定理和有限性定理。进一步地，利用李伟光和L.F. Tam的理论，我们可以得到该流形只有一个端点或者有限个端点。