关于子流形的变分和高阶极小子流形的研究

子流形几何是微分几何中重要的分支之一，多年来人们一直对它进行着各种各样的研究。由于测地线、极小子流形、调和映照等几何概念的重要性，使得子流形几何的变分问题成为这方面代表性的研究课题。高阶极小子流形是经典极小子流形的推广，它是定义在实空间形式中高余维子流形上关于高阶平均曲率泛函的变分的临界点，目前关于它的理论还很不成熟。本项目拟研究Lorentzian 空间形式中的高阶极小子流形及其相关问题。基本思想是：在Lorentzian 空间形式中高余维类空子流形上定义关于高阶平均曲率的泛函，利用我们掌握的变分技巧，计算其变分公式，给出高阶极小子流形的概念，并考虑其稳定性问题。具体研究内容：利用实空间形式中考虑高阶极小子流形的的方法和技巧，建立相应的Lorentzian 空间形式中高阶极小子流形的理论；引入Lr算子，利用算子的性质刻画高阶极小子流形的稳定性；探讨高阶极小子流形与p-调和映照之间的关系。