非凸分离定理及其在强向量均衡问题中的应用

The classical nonlinear scalarization functions, like the G-function and the oriented distance function, and separation theorems for closed sets do not characterize the strict separation between the set C\{0} and other sets. However, there are many interesting and important research contents in vector optimization, such as the topological properties of the solution sets, gap functions, error bounds and stability. All these may involve the strict separation between the set C\{0} and other sets. Therefore, in order to promote the development and applications of vector optimization, it is very important and necessary to seek some suitable functions which can characterize the strict separation between the set C\{0} and other sets. For the nonconvex separation issue, in the project, we will present a new nonlinear scalarization function to prove the strict separation between the set C\{0} and other sets, by means of the nonlinear cone separation idea of R. Kasimbeyli and the image space analysis approach of F. Giannessi. The nonlinear scalarization function is constructed by the combination of the G-function, the oriented distance function, generalized jump function and some parameters. Furthermore, we apply the nonconvex separation theorem to investigate the connectedness of the solution sets and error bounds of strong vector equilibrium problems. The outcomes of the project will play an important role in the development of vector optimization.

经典的非线性标量化函数，如G-函数和定向距离函数，以及闭集分离定理都无法刻画非开非闭集合C\{0}（C是实赋范空间的一个闭凸锥）与其它集合（未必是凸集）的严格分离性。然而，在向量优化中有很多有趣且重要的研究内容，譬如解集的拓扑性质、间隙函数、误差界与稳定性等，通常会涉及到集合C\{0}与其它集合的严格分离性。因此，为了推动向量优化的应用与发展，寻找合适的函数使其能刻画集合C\{0}与其它集合的严格分离性变得非常必要和迫切。针对此非凸分离问题，本项目拟采用R.Kasimbeyli的非线性锥分离思想以及F.Giannessi的像空间分析方法，借助G-函数、定向距离函数、广义跳跃函数以及参数的组合形式构造出全新的非线性标量化函数使其能刻画集合C\{0}与其它集合的严格分离性。同时探索此非凸分离定理在强向量均衡问题解集的连通性与误差界两方面的应用。本项目的研究成果将对向量优化的发展具有重要意义。

非凸集合的分离性是凸集分离定理的一种自然延拓，不但本身具有重要的理论研究价值，而且是优化问题的最优性条件、间隙函数和解的性质，甚至算法的重要研究工具，同时在交通网络、数理经济、对策理论、工程设计、风险管理以及金融市场等领域有着广泛的应用。.本项目主要研究了非开非闭集合C\{0}与其它紧集（未必是凸集）的严格分离性及其应用等。主要研究内容如下：（1）建立了非开非闭集合C\{0}与其它非凸紧集的严格分离定理，并由此得到参数非凸广义Ky Fan 不等式的Hölder连续性，相关结果发表在《 Numerical Functional Analysis and Optimization, 41: 344-360, 2020》上；（2）通过定向距离函数与泛函构造出非线性正则弱分离函数，并建立非凸广义向量均衡问题的间隙函数与误差界，相关研究成果发表在《Applicable Analysis, 100: 3182-3198, 2021》上；（3）借助水平集映射的上、下半连续性给出参数集值向量问题的解集映射的上、下半连续性的充分性条件，相关研究成果发表在《Journal of the Operations Research Society of China, 9: 441–454, 2021》上；（4） 通过像空间分析得到非凸约束多目标规划问题有效解的全局最优性条件，鞍点充分和必要条件，并进一步建立非凸约束多目标规划问题有效解的KKT条件，相关研究成果发表在《Optimization, 70: 1673-1701, 2021》。（5）以像空间分析角度讨论了集优化问题与多目标优化问题的解的关系，并通过构造两个非线性分离函数建立集优化问题的间隙函数与误差界，同时将所得到数据不确定性的最短路径问题和区间值代价函数的多准则交通网络平衡问题中，相关研究成果发表在《Journal of Optimization Theory and Applications, 191: 311-343, 2021》。