多复变数的Julia引理与Fock空间性质的研究及应用

This project deals with the Julia lemma in several complex variables and its application, and with the high dimensional Fock space and the related operators on this space. Applying modern Functional Analysis, Differential Geometry, Lie Algebra and PDE, we will establish the Julia lemmas on a variety of domains of C^n including the unit ball, unit polydisk, Rienhardt domain and strongly convex domain, and apply the Julia lemma to obtain the sharp estimates of the Bloch constant for some holomorphic mappings. We will characterize the properties of the Fock space in several complex variables, and discuss the boundedness, compactness and Schatten class of the Hankel operator on this space. Moreover, we will use the ideals and results of several complex variables to harmonic analysis, and study the behavior of the Bergman kernel and the related Bergman metric on the high dimensional harmonic Fock space. We will focus on the Carleson measure, Berezin transform and Bergman-type integral operator on the high dimensional harmonic Fock space. Finally, we will study the Toeplitz operator and Hankel operator on this space as well. . Taking the classical problems and hot problems in complex analysis as the starting point, we consider these problems in several complex variables, and devote to the application in harmonic analysis. We try to find a new growth point in the crossover study. Some new ideas and tools are developed, which, in our belief, have their own interests in other aspects.

本项目以多复变数Julia引理及其应用、高维Fock空间及相关算子为研究对象，拟用泛函分析、微分几何、李代数和PDE等现代数学工具，建立C^n中单位球、单位多圆柱、Rienhardt域和强凸域等上的Julia引理，以多复变数Julia引理为工具来研究某些全纯映射族的Bloch常数，刻画多复变数Fock空间的结构特征以及其上Hankel算子的有界性、紧性和Schatten类等；将多复变的观点与成果应用到调和分析，刻画高维调和Fock空间的Bergman核与Bergman度量的特性，研究高维调和Fock空间的Carleson测度、Berezin变换与Bergman型积分算子的性质以及在该空间上Toeplitz算子与Hankel算子的特性。. 本项目以单复变中的一些经典问题和热点问题为出发点，将研究视线转向多复变数，并致力于在调和分析中的应用，力求在学科方向的交叉研究上寻找新的生长点。

本项目以多复变数全纯映射与函数空间理论的一些重要问题为研究对象，取得的成果主要体现在以下六个方面：一是建立了典型域上的边界型Schwarz引理，推动了人们对多复变数Schwarz引理和Julia引理的认知；二是获得了C^n中单位球上全纯映射的边界型刚性定理，刻画了有界非对称域上无界凸映射的刚性特征，为全纯映射刚性问题的研究提供了新路径；三是发现了epsilon-星形域与双曲度量之间的联系，借助微分几何去研究Roper-Suffridge算子，构造了Thullen域、Reinhardt域等区域上的凸映射，为多复变数几何函数论的研究提供了新工具；四是研究了Fock空间的等价范数、Bergman核和Carleson测度以及其上Toeplitz算子、Hankel算子的有界性、紧性和Schatten-Herz类，极大地推动了Fock空间以及其上算子理论的研究；五是讨论了Campanato空间的前对偶空间、Carleson测度和Gleason问题，刻画了Campanato空间上Superposition算子、Cesaro算子、Riemann-Stieltjes算子等的有界性，加深了人们对Campanato空间以及其上算子理论的认识；六是获得了指数型Bergman空间上Bergman核函数的点态估计和范数估计，引入了一类比BMO空间更为一般的函数空间，研究了这类空间的分解定理以及该空间与BMO空间之间的关系。. 项目组按计划顺利完成各项研究任务，取得了预期的成果；在《Trans. Amer. Math. Soc.》《J. Funct. Anal.》《Sci. China Math.》《J. Geom. Anal.》《Proc. Amer. Math. Soc.》《J. Math. Anal. Appl.》《Pacific J. Math.》《Canad. Math. Bull.》《Math. Nachr.》等期刊发表论文28篇，其中SCI收录论文25篇、一级期刊论文1篇。研究工作引起了学界的高度关注与肯定，获省部级科技二等奖1项、市厅级科技三等奖2项。. 项目组着力于研究内容和方法的创新，形成了自身的优势特色，在国内外产生了较为广泛的学术影响力。本项目的成果也进一步丰富了多复变数全纯映射与函数空间理论，具有重要的理论意义和学术价值。