多复变数加权Fock空间研究

This project deals with certain kind of weighted Fock spaces in several complex variables with the emphasis on the combination of holomorphic function spaces and L^2 theory in PDE, Functional Analysis and Differential Geometry. With better L^2 estimates relative to the double twisted technique we will establish some asymptotic estimates on the Bergman kernel function. And we will focus on the Bergman metric, the equivalent norm of the Fock space, the Bergman projection, Carleson measures and the p-Berezin transform. We will study the behavior of Toeplitz operators with BMO symbols from the p-th weighted Fock space to the q-th one; and we will study the behavior of single Hankel operator mapping from the p-th weighted Fock space to the q-th Lebesgue space. As some application, we will study some relative problems in the Bergman spaces with exponential weights on the unit ball.

本项目以多复变数加权Fock空间作为研究对象, 强调全纯函数空间理论与PDE的L^2理论、泛函分析、微分几何等现代数学分支的融合。通过与double twisted技术相关的优化L^2估计等, 建立此类Fock空间上Bergman核函数的渐近估计，以此来研究相应Bergman度量的几何性质、空间范数等价表示、Bergman投影算子特性、 Carleson测度特征和p-Berezin变换在算子研究中的作用等。对以BMO函数为符号的Toeplitz算子，获得其从p次加权Fock空间映射到q次加权Fock空间的有界性、紧性等泛函特征。研究加权Fock空间上Hankel算子在不同幂次空间之间的映射性态。作为应用，研究单位球上指数型加权Bergman空间的相应问题。

本项目以多复变数加权Fock空间及相关算子作为研究对象. 应用泛函分析、微分几何和PDE等现代数学工具, 建立了多复变Fock空间上Bergman核的点态估计及与Bergman度量相应的几何性态; 给出了Fock空间的等价刻画以及Fock空间上Carleson测度、Berezin变换、Bergman型积分算子的特性; 获得了Fock空间上若干线性算子(包括Hankel算子、Toeplitz算子、求导算子等)的有界性、紧性、Fredholm特征; 并将研究成果应用于Bergman空间及调和函数空间上, 得到了一些新的结果. 四年来, 项目组共发表论文29篇, 其中SCI源期刊论文28篇、一级刊物论文1篇; 大部分成果发表在J. Funct. Anal.、Pacific J. Math.、J.Geom. Anal.、Proc. Royal Soc. Edinburgh、Integr. Equ. Oper. Theory、Rev. Mat. Iberoam、Complex Anal. Oper. Theory和中国科学（英文版和中文版）等国内外学术期刊上; 研究成果已引起同行的广泛关注，被多次引用。