多复变数全纯Campanato空间和Schwarz引理若干问题的研究

Function theory of several complex variables is one of main directions in mordern mathematics, analytic spaces and geometric function theory are two important parts of this field. This project deals with some important problems including holomorphic Campanato space and Schwarz lemma in high dimensions. Based on several complex variables, Harmonic Analysis, Differential Geometry and Lie Algebra, we will establish the pre-duals of holomorphic Campanato space and some operators study for boundedness and compactness defined on the unit ball in high dimesions. We will investigate the problems of the Gleason and Corona on holomorphic Campanato space defined in strongly pseudoconvex domains in several complex variables; we will establish the boundary Schwarz lemma and high order Schwarz-Pick estimate in the bounded symmetric domains. The project is aimed at the hot and difficult problems in a new growth point and crossover study. These results of the project, basing on our obtained reserach, may help to complete the study in function theory of several complex variables.

多复变函数论是当代基础数学的主流方向之一，而全纯函数空间理论和几何函数论是其重要的组成部分。本项目以多复变数全纯Campanato空间和Schwarz引理作为研究对象，拟用多复变、调和分析、微分几何和李代数等现代数学工具，研究高维复单位球上全纯Campanato空间的前对偶空间及其上的相关算子的有界性和紧性等问题；讨论一般强拟凸域上全纯Campanato空间的Gleason 及Corona问题的可解性; 建立有界对称域上的边界型Schwarz引理和高阶Schwarz-Pick估计。本项目研究的内容新颖, 交叉性和基础性强，项目组将在已获得的前期工作基础上，沿着当前多复变领域的若干热点和难点问题进行集体攻关，本项目的成果将进一步丰富和完善当前多复变函数论的研究。

多复变函数论是现代基础数学的主流方向之一，而全纯函数空间理论和几何函数论是其重要的两个组成部分。本项目以多复变全纯映射和全纯Campanato空间中的一些重要问题作为研究对象，取得的成果主要体现在以下六个方面：一是引入了双曲度量新工具，再次解决了加拿大科学院院士Graham教授和罗马尼亚Kohr教授提出的一个“Open problem”，进而给出了Tullen域上凸映射的新构造；二是引入伸缩(scaling)变换新方法，建立了蛋型域上凸映射的刚性和极值点问题,为凸映射的极值等相关问题提供了新的研究方法; 三是建立了高维复单位球上全纯Campanato空间的结构及其上的相关算子的有界性和紧性等问题;四是引入Caratheodory度量研究边界型Schwarz引理，建立了第四类典型域到其自身的边界型Schwarz引理，拓宽和深化了多复变数边界型Schwarz引理研究；五是通过引入双曲度量，建立了高维普通单位球到复平面上的凸区域上全纯函数的高阶Schwarz-Pick估计；六是从一个全新的角度来研究Roper-Suffridge算子的几何与分析性质，建立了复平面上不同区域双曲度量的分析性质，并应用于证明Roper-Suffridge算子保持的几何性质。双全纯映射、边界Schwarz引理和全纯Campanato空间都是多复变函数论中的研究热点，本项目的研究进一步丰富了多复变数函数论中的研究成果.通过对这类问题的研讨，有助于提升项目组的研究水平达到新的高度。