具有时滞项的离散惯性神经网络的余维2分岔

From the point of view of implementation of the circuits and biology, introducing inertial term into artificial neural networks has a strong practical background. This project will mainly study codimension two bifurcation in discrete time inertial neural networks with time delays, including resonance bifurcation, fold-flip bifurcation, double Neimark-Sacker bifurcation, cusp bifurcation, fold-Neimark-Sacker bifurcation and so on. By discussing the distribution of roots of the characteristics polynomial, necessary conditions of various kinds of codimension two bifurcation occurring can be investigated. Using center manifold theorem and norm form theory, not only sufficient conditions will be explored, but also unfolding of various kinds of codimension two bifurcation will be searched. Then，we will ultimately study the general approaches for codimension two bifurcation analysis of discrete time neural network. On the basis of theoretical results, numerical simulations are given to discuss the correctness. At the same time, we will explore the practical application of discrete inertial neural networks. These problems not only develop and enrich bifurcation theory and the theory of difference equations with delays, but also supply new tools and techniques for the practical engineering application of discrete time inertial neural networks.

在人工神经网络中引入惯性项，从电路实现和生物学的角度，都有着很强的实际背景。本项目研究带有时滞项的离散惯性神经网络的余维2分岔，包括共振分岔、fold-flip分岔、double Neimark–Sacker分岔，尖分岔、fold-Neimark–Sacker分岔等，通过讨论系统特征多项式的根的分布，研究各类余维2分岔发生的必要条件，通过中心流形定理和规范型理论，找出各类分岔发生的充分条件以及分岔的开折形式, 最终探索出研究离散神经网络余维2分岔的一般分析方法。在此基础上，数值上讨论理论结果的正确性，同时，探索离散惯性神经网络的实际应用。对上述问题的研究不仅可以发展和丰富非线性系统中的分岔理论，以及时滞差分方程的定性理论，而且还可以为离散惯性神经网络的实际工程应用，提供新的工具和技巧。

本项目主要研究具有时滞项的离散惯性神经网络的余维2 分岔，探讨离散惯性神经网络的复杂动力学行为。在神经网络的发展史上，分岔一直发挥着重要的作用。分岔是系统参数变化引起系统本身的定性性质发生变化的现象。随着参数的变化，系统的平衡点的汇聚与分离；极限环的出现与消失、同宿环和异宿环的产生和破裂、以及混沌吸引子、环面吸引子的形成和消失等。神经元的状态与这些动力学行为有直接的联系。在神经网络的联想记忆学习中，混沌神经网络能够用吸引子去存储记忆对于一个人工神经系统，通过分岔理论调整参数范围，使神经系统达到混沌状态是非常有意义的。..研究带有时滞项的离散惯性神经网络模型的特征根分布问题，得出系统发生分岔的必要条件；研究带有时滞项的离散惯性神经网络模型的余维2 分岔；从数值上探讨余维2 分岔点附近的复杂现象（混沌，周期解，拟周期，双极限环），并探索一些实际应用。..考虑欧拉离散形式惯性神经元模型，利用中心流形定理和规范型理论，通过特征方法分析了神经元模型产生复杂的分岔行为。这个模型不仅发生余维1分岔（flip, Neimark-Sacker），而且产生余维2分岔（cusp分岔，1:1, 1:2共振分岔）。结果表明：系统在分岔点附近，单个神经模型也能产生复杂的动力学现象。实验的结果可以支持理论结果，同时尝试探索复杂的动力学行为，如周期轨道近同源轨道，准周期轨道和混沌轨道。基于神经网络模型提出算法求解优化问题，并将该算法运用到智能电网的研究中。