不同框架下的逼近及计算复杂性

This project is devoted to studying the approximatin of multivariate smooth functions on the torus T^d, the sphere S^d, the ball B^d and etc. in the worst, average, and probabilistic case setting, and the optimal quadrature and recovery in the worst and average case setting, and the corresponding information complexity in the worst and average case setting. Such problems have deep pratical background and belong to the cross of many field. Results will have important applications in data and signal processing, numeriacl solutions of differential and integral equations, statistical estimates, design of neutral nets, and the learning theory of functions.

本项目主要研究环面T^d，球面S^d，球体B^d等紧集上的多元光滑函数类在一致，平均及概率等框架下的逼近及在一致，平均框架下的最优求积，最优恢复以及相应的信息基复杂性和计算可控性等问题。此类研究问题有着很深的实际背景, 属多个数学分支的交叉领域研究，已成为近年来热门课题。研究成果将会在数据与信号处理，微分和积分方程的数值解，统计估计，神经网络设计, 函数学习理论等若干领域发挥重要作用。

本项目研究得到了（1）在最坏框架下， (a)球面上的光滑函数类的最优恢复，熵数等的渐近阶及球体B^d上OPED算法的算子范数的渐近阶; (b)方体[-1,1]^d、球体B^d上的超插值算子的算子范数的渐近阶和球面上广义超插值算子是在最优恢复意义下对Sobolev类渐近最优的滤波函数最优的条件;(c)广义有界变差函数类和广义Lipschitz函数类的相互嵌入关系等；(2)在平均及概率框架下，球面和球体上的Sobolev类的Kolmogorov和线性宽度的渐近阶及在平均框架下具有Gauss测度的一元周期Sobolev空间、多元各项异性的Sobolev空间及球面上的Sobolev类的最优恢复的渐近阶和拟Hermite插值算子等在一重及r重积分Wiener空间下的平均误差的强渐近阶；（3）多元连续函数的逼近问题在最坏及平均框架下的拟多项式可控性，指数收敛的易处理性等结果。. 已发表或接受发表论文46篇，其中有34篇SCI杂志论文及2篇《中国科学：数学》论文， 在这34篇SCI论文中有逼近论方向的最好杂志《Constr. Approx.》 1篇， 逼近论方向的一流杂志《J. Complexity》 7篇, 《J. Approx. Theory》4篇，模糊数学及调和分析方向的一流杂志《Fuzzy Sets Systems》《J. Fourier Anal. Appl.》各一篇。