不同框架下的多元逼近及指数收敛易处理性

This project is devoted to studying the approximatin, optimal quadrature, and optimal recovery of multivariate smooth functions on the sphere S^d, the ball B^d and etc. in the worst, average, probabilistic, randomized case setting, and exponential convergence tractability of some multivariate linear problems defined over these smoothness functions classes. Such problems have deep pratical background and belong to the cross of many field. Results will have important applications in data and signal processing, numeriacl solutions of differential and integral equations, statistical estimates, design of neutral nets, and the learning theory of functions.

本项目主要研究球面S^d，球体B^d等紧集上的多元光滑函数类在最坏、平均、概率、随机等框架下的逼近特征及最优求积、最优恢复问题以及定义在这些光滑函数类上的多元连续问题的指数收敛易处理性等问题。此类研究问题有着很深的实际背景, 属多个数学分支的交叉领域研究，已成为近年来热门课题。研究成果将会在数据与信号处理，微分和积分方程的数值解，统计估计，神经网络设计, 函数学习理论等若干领域发挥重要作用

本项目主要成果有（1）得到了在最坏框架下球面和球体上的Sobolev及Grevey空间嵌入， 环面T^d的各项异性Sobolev空间嵌入的逼近数的前渐近性、渐近性、强等价性及易处理性；在概率和平均框架下球体上具有Gauss测度的加权Sobolev类的宽度的渐近阶；在随机框架下球面上Sobolev类宽度的渐近阶等；（2）得到了在平均框架下各种逼近问题的易处理性及指数收敛易处理性的充要条件等一系列结果；在最坏框架下解析Korobov类在L_q上的逼近问题指数收敛易处理性充要条件等。 . 本项目按原计划顺利完成任务，共有26篇论文在国内外的重要刊物上发表或接受发表，在26篇论文中有24篇SCI杂志论文，其中含逼近论方向的一流杂志J. Complexity 论文7篇, J. Approx. Theory论文4篇。2020年本项目主持人汪和平和主要参加者许贵桥共同获得了国外信息复杂性委员会颁发的最高奖“约瑟夫•特劳布”奖。这是中国学者首次获得该奖项。汪和平受邀请将在2021年8月16-20日德国Mannheim举办13届蒙特卡洛方法及其应用国际会议作大会特邀报告，该会议每两年举办一次。