分数阶微分方程的数值模拟及其在图像处理中的应用研究

Image is an important medium of human information acquisition, transmission, and is widely used in our life. It has become a kind of important tool for scientific research and social production. There are many reasons that will make the information fuzzy or missing of digital images. In addition, due to the imaging conditions, some people or things may be appear in the backgrounds. Sometimes we hope that these can be removed from our pictures. The technology of image inpainting can be used to solve the above mentioned problems. The classical heat conduction equation can be used for image inpainting, but has some limitations. In this project, we mainly study the applicability of fractional heat conduction equation(FHCE) in digital image inpainting, the realization of high efficiency numerical algorithm for FHCE, the difference of treatment efficiency for the three different definitions of fractional derivative, the value range of fractional derivative and how to use FHCE to deal with image with large missing information region and the edge problem.

图像是人类获取、传递信息的重要媒介，在生活中应用广泛，并且成为一种科学研究和社会生产的重要工具。数字图像由于多种原因，存在信息模糊或信息丢失的现象。另外，由于成像条件限制，背景中的其他人或事物不可避免的也被拍摄到照片中。人们希望可以去掉图像中一些不希望存在的物体。图像修复技术的提出，就是为了解决这类修复缺失信息或移除目标区域的问题。整数阶热传导方程可以用于图像修复，但存在一定的局限性。本项目主要研究分数阶热传导方程在数字图像修复中的适用性，高效数值算法的实现，研究三种不同定义的分数阶导数的处理差异，导数的分数值的取值范围以及如何利用热传导方程处理较大缺失信息区域的图像和边缘问题。

本项目主要研究微分方程的数值模拟及其在图像处理方面的应用。图像作为人类获取、传递信息的重要媒介，在生活中应用广泛，并且成为一种科学研究和社会生产的重要工具。图像处理的研究内容主要包括：图像去噪、修复、分割等。微积分方程在图像处理领域中的应用可以追溯到上世纪80年代末期，21世纪开始基于微分方程理论的图像处理方法得到了巨大的发展。图像处理的偏微分方程方法其基本思想是通过对图像建立连续的数学模型，然后令此数学模型遵循某一特定的偏微分方程发生变化，最后，通过偏微分方程模型的数值解得到图像的处理结果。本项目基于传统整数阶微分方程的研究基础，进一步研究分数阶微分方程的数值模拟及其在图像修复和去噪等方面的应用。分数阶微分方程的特殊性使其在研究一些具有记忆过程、遗传性质等问题时比整数阶微分方程模型更具有优势，但分数阶微分方程的解析解大多含有特殊函数，要计算这些特殊函数是相当困难的，因此在具体应用过程中要首先研究分数阶微分方程的数值解。基于上述原因，本项目首先研究了分数阶微分方程的数值近似方法并尝试将其运用到图像处理。项目的主要研究内容有分数阶扩散方程、对流扩散方程、Fisher's方程、偏微分积分方程等的数值求解格式构造及理论分析，并初步研究了扩散类方程在图像处理中的应用。初步的尝试结果表明分数阶微分方程在应用于图像处理时可以得到较好的效果。本项目的研究结果可以为分数阶方程的数值计算及其在图像处理上的应用提供理论和方法支持。