复杂分数阶模型的数值模拟及其应用

分数阶模型已广泛应用于物理、信号处理、地震分析、控制系统等领域。但对于复杂分数阶模型所对应的数值方法的研究仍处于初级阶段。因此，急需设计出适合此类模型的有效数值方法。.本项目主要探索复杂分数阶模型的数值方法和应用。借鉴整数阶的数值方法如有限差分、有限元、有限体积、分解法及谱方法等，并结合分数阶导数的特点建立复杂分数阶模型的新数值方法和高精度格式。将这些方法应用于来自实际问题中的特殊分数阶微分方程，如变分数阶偏微分方程，分数阶Schr?dinger方程等。给出稳定性，相容性和收敛性等理论分析，借助Short-memory原则、Nested Meshes等技巧减少计算量。结合数值算例验证算法的有效性。同时考虑复杂分数阶模型在地下水运动、计算生物和医学等领域中的新应用。力求在数值方法的构造和理论分析上有所突破和创新。研究成果主要以论文的形式展现，预计在国内外重要学术刊物上发表8-10篇论文。

本项目主要探索复杂分数阶模型的数值方法和应用。首先，我们对几种类型的变分数阶偏微分方程的数值方法和在渗流水力学和地下水动力学中的分数阶渗透方程的数值方法进行了研究。其次，我们探讨了适用于分数阶微分方程的较高精度的数值格式，同时对高维分数阶微分方程以及较复杂分数阶微分方程的解析解与数值解也进行探索。此外，我们尝试建立交叉学科之间的联系，把重点偏向于探索复杂分数阶模型在医学、地下水运动和计算生物等领域的应用。对分数阶Schrödinger方程数值方法的稳定性，收敛性等理论分析还存在一定困难，这还需要我们继续深入研究。本项目的研究成果以论文的形式展现。