分数次多项式谱方法及其在分数阶微分方程中的应用研究

There appear many fractional differential equations in various applications such as: random walking, anomalous diffusion, non-exponential relaxation patterns, viscoelastic materials, etc. Some important examples are: fractional Burgers equations, fractional Fokker-Planck equations, fractional diffusion equations and fractional advection diffusion equations. To seeking efficient numerical methods for fractional differential equations has become one of hot topic in scientific research. Since fractional calculus operators are nonlocal, spectral methods which utilize global basis function are more appropriate to fractional differential equations than finite difference methods and finite element methods. Additionally, due to the singularity of fractional calculus operators, the exponential convergence of the classical spectral methods is collapsed.. Fractional polynomial spectral methods will be developed theoretically and practically in this project. On one hand, since fractional polynomials are taken as basis functions, which match the singularity of fractional calculus operators, the exponential convergence will be recovered. On the other hand, the efficiency of the fractional polynomial spectral methods will be tested by numerical experiments. The methods will be applied to solve some fractional differential equations numerically and numerical simulations will be done at the same time.

分数阶微分方程常常出现在许多重要的应用领域中，如随机游走、异常耗散、非指数松弛模型、粘弹性材料等。典型的分数阶微分方程如：分数阶Burgers方程、分数阶Fokker-Planck方程、分数阶耗散方程、分数阶对流扩散方程等。开发求解分数阶微分方程的有效的数值方法也成为当前研究的热点问题之一。由于分数阶微积分算子是非局部算子，而谱方法使用整体基函数，所以跟有限差分方法和有限元方法相比谱方法更具优势。但因为分数阶微积分算子具有奇异性，这样传统谱方法的指数收敛性往往难以达到。. 本项目将研究分数次多项式谱方法的理论及应用。一方面，项目将采用分数次多项式，建立分数次多项式谱方法及其误差分析。由于引入了分数次多项式，匹配了分数阶微积分算子的奇异性，指数收敛性得到有效恢复。另一方面，将构建的谱方法应用于分数阶微分方程，用数值试验来验证方法的有效性，同时对方程进行数值模拟。

分数阶微分方程是复杂系统（具有宏观尺度和微观尺度相互交叠的系统、具有大范围时间记忆的系统、具有大范围空间量相互作用的系统等）建模的有力工具。随着应用的不断深入，科学家们提出了大量的分数阶微分方程模型。开发求解分数阶微分方程的高精度有效的数值方法也成为科学研究的核心问题之一。. 本项目研究利用分数次多项式谱方法求解分数阶微分方程的理论依据和算法实现。包括寻求用分数次多项式谱方法（或谱配置法）逼近分数阶微分方程解的理论依据，建立用谱方法（或谱配置方法）数值求解分数阶微分方程的误差分析的理论框架和设计数值求解分数阶微分方程的高精度数值方法。. 研究的主要结果包括：第一，定义了不同类型的Birkhoff插值，得到了这些插值算子的可解性、稳定性和收敛性。并利用这些插值构造了有效的分数阶拟谱微分矩阵。研究丰富了求解分数阶微分方程的数值方法，推动了理论研究走向成熟，为进一步深入研究提供了一定的基础。第二，构造了多区域谱配置方法，同时还建立了（多区域）三次Hermite样条配置方法，测试了大量例子，积累了较多的计算经验。为算法进一步软件化提供了理论和实践基础。第三，解决了数值求解分数阶微分方程的多区域谱配置方法的不稳定问题，为理论上分析该方法的最优化参数提供了实践依据。. 项目的研究还得到了一些附加成果，包括随机动力系统随机拉回指数吸引子的存在性结果，图的优美标号等。. 利用本项目的资助，学校的教师队伍整体科研与教学水平都有了提升。