分数阶偏微分方程在图像去噪中的应用研究

In order to preserve more image details information while image denoising, the concept of fractional-order gradient descent flow is proposed by combining fractional calculus and gradient descent flow, and try to prove that the fractional-order gradient descent flow of energy function is convergent within a certain range of differential order. Secondly, the numerical of denoising model based on space fractional partial equation is achieved by using fractional differential mask operator, and it could control the intensity of image diffusion by introducing the edge stopping function including the parameters of fractional grads modulus. On this basis, the denoising model based on time-space fractional partial equations is constructed by adding time factor to the improved image denoising model based on space fractional partial equations. The denoising model proposed in this project should achieve synchronously denoising in the directions of time and space, so it appropriately increases the signal-to-noise ratio of image and significantly reduces the iteration number under the conditions that the signal-to-noise ratio of denoising image getting the maximum.

为了在去噪的同时更多地保留图像的细节信息，本项目拟将分数阶微积分理论和梯度下降流有效结合，提出分数阶梯度下降流的概念，并尝试证明能量泛函的分数阶梯度下降流在一定微分阶次范围内是收敛的。其次，本项目拟利用分数阶微分掩模算子来实现基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型的数值计算，并引入以分数阶梯度模值为参数的边缘停止函数来控制图像扩散强度。在此基础上，本项目拟将时间因素引入到改进的基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型中，从而尝试构建基于时间-空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该模型拟实现在时间方向上和空间平面内的同步去噪，不仅可以提高去噪后图像的信噪比，而且可以大幅减少图像获得最大信噪比所需要的迭代次数。

分数阶微积分理论是将传统的整数阶微积分的阶次从整数推广到非整数。分数阶微积分理论作为分形几何和分数维动力学的基础已经在众多学科领域中得到了广泛的应用并取得了显著的成就。本项目的主要研究内容是关于分数阶微积分理论在数字图像底层处理中的应用研究，即在分数阶微积分理论框架下构建分数阶微分滤波器，并将分数阶微积分理论和偏微分方程理论相结合构建基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型。本项目具体的研究内容和重要结果、关键数据及其科学意义包含以下两个方面的内容：.（1）本项目研究了改进的分数阶微分滤波器的构造及在图像增强中的应用。根据图像具有高度自相关性的特性，即越接近目标像素的像素点其两者的相似性越高，构造了基于非整数步长的分数阶微分滤波器。该滤波器打破了Grümwald-.Letnikov定义中分数阶微分数值计算取单位步长的思想，即在传统的分数阶微分的基础上再增加一个自由度参量步长，在一定范围内适当调节阶次v和步长n的大小来构造相应的掩模算子，并利用线性加权的拉格朗日多项式的分段插值方法来确定非整数步长像素点的灰度值，在一定程度上起到降噪的作用。.（2）本项目研究了基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型。项目对已有的基于空间偏微分方程的图像去噪模型进行了一定的改进，将以分数阶梯度模值为参数的边缘停止函数融入基于空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型，使得改进后的模型在去噪的过程中一定程度上保护了图像的边缘和纹理等细节信息；在此基础上，利用构建的分数阶微分掩模算子与噪声图像进行卷积和相关操作来实现改进模型的数值计算，从而有效地提高了去噪效率；然后，将分数阶微积分理论和梯度下降流有效结合，提出了分数阶梯度下降流，并证明了能量泛函的分数阶梯度下降流在一定微分阶次范围内是收敛的；最后，将时间因素引入到改进的去噪模型中，从而构建了基于时间-空间分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该模型实现了在时间方向上和空间平面内的同时去噪。.实验结果表明，本项目提出的分数阶偏微分方程的图像去噪模型较传统的模型去噪后的图像视觉效果更佳，并且计算速度也更快，不仅可以提高信噪比，而且可以大幅减少图像获得最大信噪比所需要的迭代次数。