右端分片连续微分系统的定性研究

On the basis of existing research, we furthor investigate the qualitative theory of differential systems with piecewise-continuous righthand sides by using the theories and methods, such as symbolic calculation, set-valued mapping, differential inclusion, nonsmooth analysis. We will study the basic theory of solutions in the sense of Filippov, the existence of sliding solutions, periodic solutions and other special solutions, the determination of center-focus, the finite time convergence and large-time dynamics of solutions, the number and distribution of limit cycles. We will also research the complex dynamical properties caused by the parameters change, such as Hopf bifurcation, homoclinic bifurcation, heteroclinic bifurcation, local critical period bifurcation, boundary node and focus bifurcation, saddle-node bifurcation, and crossing, buckling, touching bifurcation. We develop the research of qualitative methods and theories to piecewise-continuous differential systems, such as the research methods of the center problem, the Hopf bifurcation of high order, the center of infinity and the local critical period bifurcation for the piecewise-continuous plane autonomous ordinary differential systems, the Lyapunov method of stability for the piecewise-continuous differential systems, the non-smooth critical point theory of existence of periodic solutions for the piecewise-continuous differential systems. Using the developed theory and methods, we perform a through analysis of dynamic behaviors for some piecewise-continuous differential systems, which come from the actual field, to provide reliable theoretical basis for practitioners.

综合运用符号计算、集值映射、微分包含、非光滑分析等理论与方法，在现有研究工作的基础上进一步深入开展右端分片连续微分系统的定性研究，研究内容包括Filippov意义下解的基本理论，滑模解、周期解等特殊解的存在性，中心焦点判定，解的有限时间收敛性和大时间性态，极限环个数与分布，以及Hopf分支、同宿异宿分支、局部临界周期分支、边界结点与焦点分支、鞍结点分支、扣环分支、穿越分支、擦边分支等由参数变化所引起的复杂动力学性质。发展分片连续微分系统定性研究方法与理论，如：发展分片连续平面自治常微分系统有关中心判定、高阶Hopf分支、无穷远点的中心、局部临界周期分支等研究方法；发展分片连续微分系统稳定性研究的Lyapunov方法；发展分片连续微分系统周期解存在性研究的非光滑临界点理论等。利用发展的方法与理论，深入分析一些实际领域中右端分片连续微分系统模型解的动力学性质，为实际工作者提供可靠的理论依据。

由于摩擦、开关和经济阈值等不连续因素的影响，右端分片连续微分系统大量出现在物理学、力学、机械工程、生物生态、流行病学、生产管理、经济金融、神经网络 、自动控制等领域的数学建模中。本项目开展了分片连续微分系统的定性理论和应用研究, 并获得了一系列的研究成果。利用集值映射、微分包含、非光滑分析、符号计算等理论与方法，进一步研究了Filippov意义下解的基本理论，极限环问题，稳定性理论和分支问题，发展了分片连续微分系统定性研究方法与理论，包括基于后继函数的极限环分支研究方法和稳定性研究的Lyapunov方法等。同时，利用发展的定性研究方法与理论，深入讨论了一些基于不连续控制策略的植物病虫害模型、人类传染病模型、食饵-捕食者模型、产业经济模型、神经网络模型、弹簧振子和摩擦系统模型等的动力学性质。本项目的研究成果不仅促进了微分方程与动力系统理论和应用的发展，同时对相关学科的发展也具有促进作用，一些工作还可为相关领域的实际工作者提供可靠的理论依据和决策参考，具有重要的理论和实际意义。