右端不连续奇摄动系统的多尺度研究

Currently, the study of singularly perturbed system with discontinuous right-hand side is quite difficult, and the existing results are very few. On the one hand, when the trajectory passes through the discontinuous curve or the discontinuous surface, the dynamic behavior will become complicated. If the exchange of stability occurs (generating nonhyperbolic points ), then the internal layer (contrast structure) with turning points exists around the discontinuous curve or the discontinuous surface. Therefore, the study of such phenomenon can be challenging and fruitful. On the other hand, such complicated phenomenon exists widely in various fields of natural science research , as in the current research of biomathematics, which has become one of the important branch of complex dynamical behavior in singular perturbation theory. .This project will apply the multi-time scale method and the contrast structure theory to the sigularly perturbed system with discontinuous right-hand side. The purpose of this research is to find out the dynamical behavior of trajectory around the discontinuous curve or the discontinuous surface. We will combine the geometric singular perturbation method, the dynamical system method and traditional asymptotic expansion method and use them to study the basic theory. For the proposed problems, we will consider the existence of solutions, construct uniformly valid asymptotic expansions and obtain estimates for remainders. This project will provide new approaches and new methods to treat other complicate phenomena in singularly perturbed problems.

目前，对右端不连续奇摄动系统的研究是相当困难的，而且取得的成果也很少。 一方面，当轨线经过间断曲线或间断曲面时，它的动力学行为相当复杂，如果发生稳定性交替（产生非法向双曲点），则在间断曲线或间断曲面附近会出现带有转点的内部层（空间对照结构）。 所以，对本项目的研究极具挑战性和富有成果； 另一方面， 这一复杂的空间对照结构现象越来越多地存在于自然科学研究的各个领域，特别是目前对生物数学的研究，它已成为近代奇摄动理论中复杂动力学行为的重要源头之一。.本项目将采用多尺度方法，并结合空间对照结构理论，研究右端不连续奇摄动系统，搞清楚在间断曲线或间断曲面附近轨线的动力学行为，把几何奇摄动方法和近代动力系统方法揉合在一起，再加上传统的渐近展开法，进行基础理论研究。 我们将讨论这类问题解的存在性， 构造一致有效渐近展开式， 并给出余项估计， 为奇摄动问题中其它复杂现象的研究提供新思路和新方法。

本课题主要研究了若干右端不连续奇摄动问题所产生的间断性空间对照结构。从二阶半线性、拟线性、临界奇摄动边值问题和反应扩散方程的周期解问题着手，逐步推广到了非法向双曲的奇摄动问题。按照项目计划书的要求，已基本完成了项目列出的研究内容，在SCI杂志上共计发表学术论文15篇，获得了专家和同行的好评。. 本项目所获得的重要结果为：解决了计划书中提出的两个关键问题，主要是在间断曲线(面)附近运用非标准的边界层函数法、“多尺度匹配法”、“吹胀法”、“升维法”和“多元缝接法”，不但分析并证明了解的存在性，而且构造了解的一致有效多尺度表达式，刻画了在非法向双曲点附近解的动力学行为，同时对每一个问题都给出了具体的算例，进行了数值模拟。. 本课题的科学意义在于把传统的渐近方法和近代的几何方法有机结合起来，采用多尺度方法对于不同区域引入相应的尺度，既有针对法向双曲点的边界层函数法也有对于非法向双曲点的非标准边界层函数法和“吹胀法”，它们之间相辅相成，在整个定义域构造了一致有效的光滑解，并给出了解的余项估计。所得到的结果不同程度地推进了前人的研究工作，为进一步研究奇摄动问题中的复杂现象提供了理论依据，本项目所得到的理论结果可广泛地应用于各类实际问题。