无界区域上反应扩散方程的全局吸引子问题

This project is devoted to considering the problems of global attractors for Reaction-diffusion equations in unbounded domains, such as the existence of global attractors, dimension theory and the exponential attraction. We use the variational principle, and conbining the estimates of functional monotonicity, ω-compactness, the cutting function technique and the smooth approximation method, to research the existence of global attractors for Reaction-diffusion equations in unbounded domains, especially for the equations are non positive or degenerate. Then, we study the Fractal dimension and Hausdorff dimension of the global attractors through different methods, such as the Z2-index and central manifolds, and also try to obtain the global attractors of finite or infinite dimension under different conditions of the potential functions and nonlinear terms. At last, in order to investigate the exponential attraction of the infinite-dimensional attractors, we introduce a new concept which is available to construct an exponential attractive set by the Kuratowski measure. This project has important theoretical and practical significance for us to understand deeply the the problems of global attractors for Reaction-diffusion equations in unbounded domains, as well as its long-time behaviors.

本项目旨在研究无界区域上反应扩散方程的全局吸引子问题，如全局吸引子的存在性、维数理论以及指数吸引性等问题。首先拟利用变分原理的思想，并结合能量泛函单调性估计、ω-极限紧性、截断函数、光滑逼近等技巧和工具来研究无界区域上反应扩散方程（特别当方程是非正定或者退化时）的全局吸引子的存在性。进而利用Z2-指标、中心流形等方法更深入地研究全局吸引子的分形维数以及Hausdorff维数问题，并证明在位势函数或者非线性项不同的情形下，方程分别存在有限维或者无穷维的全局吸引子。最后，对于无穷维的全局吸引子，我们拟采用非紧性测度的概念，提出可行的构造指数吸引集的新方法，以用来研究吸引子的指数吸引性。本课题的研究对于深入认识无界区域上反应扩散方程的全局吸引子问题、揭示其长时间动力行为，具有重要的理论和实际意义。

本项目主要研究了无界区域上反应扩散方程的全局吸引子问题，如全局吸引子的存在性、维数理论以及指数吸引性等问题。我们首先采用了非紧性测度的概念，提出全新的一个构造指数吸引集的可行方法，不同于指数吸引子, 这个新方法只反映了半群自身所具有的指数吸引速率，并不考虑吸引子的维数问题。接着，我们将应用此方法研究无界区域上反应扩散方程的解半群的指数吸引性，特别是不具有紧的吸收集或者吸引子维数是无穷维的半群（这两种情形时，很难应用已有的指数吸引子的方法得到其指数吸引性）。另外，我们将此理论拓展到研究带扰动的动力系统问题中，讨论了一族系统的指数吸引集的稳定性问题。本课题的研究对于深入认识无界区域上反应扩散方程的全局吸引子问题、揭示其长时间动力行为，具有重要的理论和实际意义。