带有薄层的区域上几类反应扩散方程的定性分析

Heat/diffusion equations on domains with thin layers have significant applications in practice. For example, we use thermal barrier coatings to protect turbine blades, or species will use roads in a nature reserve to increase its spreading speed. The appearance of multi-scales largely complicates the numerical simulation, and at the same time it is hard for us to see analytically the effect of thin layers (thermal barrier coatings or roads). To solve these issues, we think of the thin layer as a surface or curve with zero thickness, and then impose effective boundary conditions. From the mathematical point of view, effective boundary condition is approximately satisfied by the solutions on the boundary of the large component, when the thickness of the thin layer shrinks to zero. We plan to build simpler and more reasonable mathematical models. On one hand, under a substantial physical situation, i.e., when thermal barrier coating includes functionally graded material, we investigate the linear heat equation, so as to discover the delicate role played by functionally graded material in the applications of thermal barrier coatings. On the other hand, for KPP type diffusion equation, based on our previous work, we plan to further study the effect of a road in a nature reserve on the propagation speed of species in a deeper and more significant way. In particular, we will reveal the different roles in the spreading of species played by environmental factors such as width of the road, its diffusion coefficient and spatial periodicity, etc.

带有薄层型区域上的热传导/扩散方程在实际中具有重要应用价值，例如人们利用热障涂层来保护涡轮机叶片，又如物种会利用自然保护区内的一条道路来加快传播速度。多尺度的引入使得数值模拟的难度大大增加，同时我们也很难从分析上看到薄层（热障涂层或道路）的效果。为了解决这些困难，我们把薄层看作无厚度的曲面或曲线，然后附加实效边界条件。从数学上来说，实效边界条件就是带有薄层型区域上的方程（当薄层厚度趋于零时）解的极限在边界上的条件。我们拟建立更加简洁而合理的数学模型。一方面，我们在更加丰富的物理背景下，即热障涂层包含功能梯度材料的情形，考察线性热传导方程，以发现功能梯度材料在热障涂层应用中所起的微妙作用。另一方面，对KPP型扩散方程，在前期工作的基础上，更加准确而深刻地认识自然保护区内的道路对物种传播速度的影响。特别地，我们将揭示道路宽度，路上的扩散系数以及空间周期性等环境因素在种群传播中所扮演的不同角色。

报告由三部分组成。首先，近年来对于趋化模型的研究极为广泛，其结果也较为深入。然而，绝大部分的数学研究工作关心的是解的整体存在性和有界性，而关于细胞聚集现象的工作则相对很少。利用局部和全局分歧理论，我们研究了一类带有退化敏感函数的趋化模型的正平衡态的存在性及其（关于趋化系数的）渐近行为。特别地，我们的工作表明，当趋化系数越来越大时，细胞的密度函数趋于Dirac函数的倍数，从而形成尖峰态，描述了现实中极为重要的细胞聚集现象。. 其次，传染病和新出现的疫病，尤其是2020年全球爆发的新冠肺炎疫情，严重危害人类健康与社会经济发展。传染病学专家和应用数学家逐渐认识到利用数学模型来研究疾病传播和控制的重要性。(a) 研究了一类带有线性增长项和双线性感染机制的SIS扩散型传染病模型。特别地，考察了地方病平衡态关于扩散系数的渐近行为。通过与其他三个密切相关的数学模型的比较和总结，我们发现了扩散系数、环境的异质性、变化的总人口以及感染机制等因素在疾病传播和控制中的复杂而微妙的作用。(b) 受趋化模型的启发，我们提出并研究了一类带有交错扩散的SIS扩散型传染病模型。这里的交错扩散项表示易感人群会远离染病者人口密度大的地方。不同于趋化模型可能存在解的爆破的情形，我们证明了在任意空间维数下解的全局存在性和有界性，且不依赖于交错扩散项的大小。我们讨论了解的门槛型动力学行为及平衡态的全局稳定性，并进一步探讨了地方病平衡态的存在性、唯一性及其关于扩散系数的渐近行为。(c) 研究了总人口守恒和不守恒的两类SIS斑块型传染病模型。对现存文献中的部分公开问题给予了解答，并从数学上指出了变化的总人口不利于疾病的控制。. 最后，在偏微分方程的实际应用中，通常会遇到带有薄层的区域；而热传导系数在薄层内与薄层外是不连续的阶梯函数。我们研究了一类带有内部加强层的热方程的实效边界条件的问题。当薄层厚度趋于0时，得到的边界条件可以是非常规的：一个扩散方程或者是非局部的。