二阶宏观交通流模型的动力学行为

This project is dedicated to the study of the traffic flow macroscopic models. According to evolution of the traffic flow with respect to time and space, we will investigate the existence of global attractor to the semigroup generated by the solution，the existence of the stationary points and multiple stationary points and the dynamical behavior near stationary points. Furthermore, the research will be focused on the existence of random global attractor for macroscopic model with noise terms. By analyzing the topological properties of global attractor and the local dynamical behavior near stationary points, a reasonable explaining for the traffic jams will be provided.

本项目以宏观道路交通流为研究背景，根据道路交通流随时间和空间发展的特性，研究二阶宏观模型解半群的全局吸引子的存在性, 并探索系统平衡点的存在性，多重性以及平衡点附近的动力学行为。进而，研究带有噪声项宏观模型的随机全局吸引子的存在性。通过分析全局吸引子以及平衡点的拓扑性质，对交通流中的拥堵现象给出一个合理的刻画。

首先，我们考虑一类退化抛物型方程在有界域上的长时间行为，其中非负扩散系数a(x)被允许在一个非空零测闭子集消失。为此，引入了适当的加权Sobolev空间，并建立了相应的嵌入定理。进而，我们证明了弱解的全局存在性和唯一性。最后，我们分两种情况（次临界和超临界）证明关于这类方程的半群全局吸引子的存在性。.其次，我们考虑了带有变指数和测度数据的一个双障碍问题。这类问题不但从纯数学的角度是有意义的，而且在其他的许多领域也有潜在的应用。像流体通过多空介质，影像处理，一类非牛顿流等。对于测度并不涉及零p(•)-capacity集的情况，我们得到了解的存在唯一性。另一方面，对于测度集中在一个零p(•)-capacity集的情形，我们证明了通过近似求解，不能得到一个合适的解。.最后，我们研究了 Lagrange 形式的宏观交通流模型。与一般的单个交通流守恒方程不同，其除了包含车辆守恒方程之外，我们还考虑了驾驶员的个体行为，加入了驾驶员个体特性D的动态描述，在Lagrange坐标系下将问题描述成一个系统。我们的基本思想是将驾驶员的行为特性D考虑为随机过程，用来描述驾驶员之间的直接交互所导致的随机性，以及驾驶员自身的行为所导致的随机性，如驾驶员个体行为，不同的预期等。进一步，为了便于得到合理的物理解释，这里的随机因素D假设是某种形式的反射布朗运动。总的来讲，这样建立的随机交通流系统较确定性模型或者单个的守恒方程而言，有了比较大的进步，更加贴合实际问题。