相位缺失数据情形下局部粗糙曲面反散射问题的唯一性和高效数值算法

This project is devoted to studying the uniqueness and efficient numerical algorithms for inverse scattering problems by locally rough surfaces from phaseless data. Due to the missing of the phase information, the inverse scattering problems are more difficult to be studied. We will study the uniqueness for the inverse scattering problems by locally rough surfaces from phaseless far-field data, with the aid of the properties of the far field operator and the high frequency asymptotics of the far field pattern. Further, we will investigate the stability estimate and the fast numerical algorithm for the solution of the scattering problem with high frequency. And based on this, we will develop the fast iterative algorithm to reconstruct unknown boundaries from multi-frequency phaseless data and analyse the stability of the iterative algorithm. Moreover, by building the suitable indicator function, we will propose the direct imaging method to reconstruct the unknown boundaries from phaseless data. The study of this project will be valuable and useful in many fields such as physical geography and radar imaging.

本项目将研究相位缺失数据情形下局部粗糙曲面反散射问题的唯一性和高效数值算法。由于相位信息的缺失，反问题的研究变得更加困难。我们将借助于远场算子的性质和远场模式的高频渐进性质，研究相位缺失远场数据情形下局部粗糙曲面反散射问题的唯一性。同时，我们将研究高频散射解的稳定性估计和快速数值算法。在此基础上，我们将发展利用多频相位缺失数据重构未知边界的快速迭代算法，并分析算法的稳定性。此外，我们将通过构造合适的指示函数，提出利用相位缺失数据重构未知边界的直接成像算法。本项目的研究将在地球物理、雷达成像等领域具有实际的应用价值和重要的指导意义。

本项目研究了相位缺失数据情形下局部粗糙曲面反散射问题及相关的反散射问题。主要成果如下。（1）针对Neumann边界条件情形下局部粗糙曲面反散射问题，提出了一个新颖的积分方程方法。基于此，建立了利用多频远场数据重构局部粗糙曲面的Newton型迭代算法。（2）利用散射解的渐近性质和交互关系发展了重构无界粗糙曲面的直接成像算法。（3）借助稳定相位方法建立了利用无相位总场数据重构局部粗糙曲面的直接成像算法。（4）利用震荡积分理论，建立了声波无相位总场算子的渐近理论，由此提出了声波无相位总场数据反散射问题的分解型算法。（5）通过在散射系统中添加一个已知的参考球，证明了电磁波无相位远场数据情形反散射问题的唯一性。（6）通过选取两个点源的叠加作为入射场，证明了声波和电磁波情形下无相位近场数据反散射问题的唯一性。