无限维非线性系统的分岔控制

非线性动力学研究分叉、混沌、分形、孤立子等现象，探索非线性问题的复杂性。对于分叉现象和分岔控制的研究，过去人们对非线性常微分方程控制的离散系统研究得比较多。由于数学求解的困难，对非线性偏微分方程控制的无限维系统的研究相对要少得多。本项目研究无限维非线性系统的分岔控制,一是采用精确变换和近似变换两种方法，变换非线性偏微分方程为常微分方程，通过研究变换后的常微分方程来研究无限维系统的分岔控制。二是不进行变换，直接研究非线性偏微分方程，通过求偏微分方程的解析解来研究无限维系统的分岔控制；用中心流形等方法对方程进行约化，研究无限维非线性系统在其局部分岔点的某邻域内的渐近行为；直接利用摄动方法对施加了小参数连续分岔控制器的系统进行研究。将以上理论研究成果应用到航空发动机转子叶片的颤振研究，探讨工程问题的分岔控制，为国防建设服务。

国内外对无限维系统的分岔控制研究得很少，因数学工具、控制方法和技术的局限，分岔控制研究目前主要集中在有限维系统。本项目在对低维和高维非线性振动系统进行分岔控制研究后，在无限维这个领域系统地开展分岔控制研究工作，具有重要的理论意义和应用前景。通过采用精确变换方法将非线性偏微分方程变换为非线性常微分方程，解决了一些无限维系统的求解和分岔控制问题；发现无限维系统也具有鞍结分岔、叉形分岔和跨临界分岔三类典型的静态分岔，利用反馈控制等方法研究了无限维系统的这几类分岔的控制。用中心流形方法和多尺度方法对非线性偏微分方程进行约化和求解，研究约化后的低维系统的分岔控制，在参数平面进行解的稳定性研究，达到了直接研究无限维系统的分岔控制的目的。提出了求强非线性系统同宿轨的广义Padé逼近等近似方法, 用该方法来构造偏微分方程的解析行波解，然后确定分岔解的待定系数，在几类无限维系统的同宿轨道分岔求解及其控制中得到了应用。设计了反馈控制器，根据控制增益的不同而分别进行了线性控制、非线性控制和线性与非线性联合控制，从而消除跳跃和延迟现象，改变非线性系统的不稳定区域，对无限维系统的鞍结分岔、Hopf分岔和极限环振幅进行了控制。建立了航空发动机转子叶片的分岔分析模型，进行了解析求解和数值模拟。在国内外期刊上发表学术论文20篇，积极参加了国内的学术会议，撰写了一本关于分岔控制的专著。青年教师和研究生积极参与研究工作，不断创新，得到了锻炼和提高。