流形学习中的数值代数理论与方法

对高维数据发现其内在紧密而又信息丰富的描述与综合，是一个具有非常广泛应用背景而有迫切需要的挑战性研究课。以流形学习为工具的非线性降维是近年来发展起来的新颖解决方法。本项目研究非线性流形学习中面临的数值代数问题，其目的是为了解决流形学习算法中的一些深入性的问题，对于理解、发展和深化高维数据非线性降维的理论与方法，非常重要。我们将以算法LTSA为主要蓝本，研究决定降算法可靠和有效性的关键因素：整合矩阵的谱分析，包括零空间与低维参数空间的确定性关系与条件、稳定性分析和误差传播及估计。在此基础上，研究病态情形的预处理和正则化方法，以改善计算结果。进而研究流形学习的区域分解方法，在一定程度上解决目前流形学习算法难以处理大规模高维数据的问题，提高处理大规模高维数据的非线性降维能力。本项目的研究对于拓广数值代数研究领域、丰富数值代数的理论与方法，也是很有意义的。