稀疏表示的移动凸包理论与方法

Sparse recovery or sparse approximation plays a very important role in data analysis for wide applications such as signal or image processing, compressive sensing, sparse coding or decoding, model selection, and manifold learning, clustering and classification, low-rank factorization, and matrix complement. This project will study the approach of moving convex hull for several sparse problems, including local convex envelopes of variant sparse functions, local sparse convex relaxation models and its algorithms and convergence analysis, approximation theory and error analysis, strategies and algorithms for moving convex hulls. Three aspects will be considered: the linear form like sparse signal recovery, the nonlinear sparse form like minimizing rank, and the mixed sparse model of rank and component scarcity. The goal of this project is to build solid basis on theory and algorithms for the approach of moving convex hull, and provide efficient algorithms and mathematical theory for applications of sparse approaches in information analysis and data processing.

稀疏恢复或稀疏逼近在数据分析中扮演了一个非常重要的角色，并在许多研究领域中有着广泛的应用，如信号与图像处理、压缩感知、稀疏编码与解码、模型选择、流形学习、聚类与分类分析、矩阵完全等等。本项目拟从基本的线性稀疏信号恢复、非线性形式的最小秩、以及混合最小秩与元素稀疏等方面分别研究稀恢问题的移动凸包方法，包括不同疏度量函数的局部凸包函数、局部凸包松弛的稀疏优化模型、算法及其收敛理论、局部凸包松弛的逼近理论与误差分析、移动凸包的策略、算法及其收敛分析。建立比较完善的移动凸包理论与方法，推动稀疏恢复与逼近的方法与理论的研究，为信息分析及数据处理应用提供更有效的算法与数学理论基础。

稀疏表示和稀疏逼近在数据分析和人工智能等领域有着广泛的应用。本项目主要研究稀疏表示和稀疏逼近的一些相关问题，包括稀疏表示的局部凸包方法、移动迭代改善的理论分析，联合稀疏恢复，矩阵的低秩-稀疏分解的算法与理论，多源数据融合分析中的稀疏表示方法，复杂子空间学习的稀疏表示，图矩阵的聚类性稀疏纯化等。项目的主要成果有：（1）建立了一个基于局部凸包的稀疏优化模型，拓展了传统压缩感知采用的L1优化模式；给出了求解这一稀疏优化问题的数值算法和理论分析，并将其拓展应用于联合稀疏表示问题。（2）提出了稀疏－低秩分解的凸包松弛方法，利用局部凸松弛方法的自适应优势，提出了一个快速的迭代改善方法，能够适用于较大规模的应用。（3）提出了多源复杂数据的一致性稀疏邻域方法，能够有效地解决多源复杂数据聚类问题。同时，一致性稀疏邻域方法可以作为其他多源数据融合方法的预处理，显著提升这些方法的融合聚类效果。（4）提出了多源复杂数据融合的一致化投影方法，具有较强的抗扭曲性和模型解释性，良好的优化目标与聚类精度的协同性，较低的计算复杂性，适用于大规模问题。（5）基于低秩稀疏逼近的方法，提出了相似图矩阵的聚类性稀疏纯化方法，并进一步挖掘了这一图纯化方法在非线性流形降维、子空间学习，多源数据融合分析这三个研究领域中的应用，可以显著提升这些方法在聚类上的有效性。（6）创新性地提出了复杂子空间学习的稀疏表示理论与方法，解决了最小样本子空间划分的概念、唯一性理论、可计算建模、有效数值算法等问题， 大大提高了子空间学习的适用范围。（7）提出了非线性Riemannian 流形上高维数据的分类方法，推广了欧氏空间上的SVM方法。（8）提出了一种区域适配方法，通过降维匹配的方式，可以有效地将辅助信息有效地迁移到目标域，缓解因标签数据匮乏而导致的学习困境，提升学习的有效性和准确性。