重分形与离散薛定谔算子中的几个问题

This project is devoted to the study of several problems in multifractal and discrete Schrodinger operators. For multifractal, we plan to study it in the most general setting, and obtain the generalized multifractal formalism. For discrete Schrodinger operator, we plan to study the higher dimensional operators with Toeplitz potentials, we are mainly concerned with the spectral structure and the spectral type of the related spectral measures. As an attempt to combine these two fields, we will study the relationship between the spectral measure and certain Gibbs measure naturally supported on the spectrum of the one dimensional operator with Fibonacci potential. We will also study their multifractal property. The study of this project will be useful, not only for a better understanding of their theories, but for a better instruction for their applications to various fields.

本项目拟研究重分形与离散薛定谔算子中的几个基本问题。在重分形方面，我们拟研究最一般框架下的重分形分析，得到推广的重分形公式。在离散薛定谔算子方面，我们拟研究具Toeplitz势的高维薛定谔算子的谱结构和谱测度的谱型。作为结合两个领域的尝试，我们拟研究具Fibonacci势的薛定谔算子的谱上自然支撑的Gibbs测度与谱测度的关系，以及它们的重分形分析。本项目的研究有助于加深对重分形和离散薛定谔算子的理论认识，同时对他们应用于各个领域也具有指导意义。

本项目研究了重分形与离散薛定谔算子中的几个问题。重分形与离散薛定谔算子都根源于物理，前者刻画一个多尺度复杂系统的水平集的大小，后者研究电子在晶体中的动力学行为。二者都具有明确的物理意义和很强的应用背景。..本项目主要研究了如下四个问题：Sturm 哈密尔顿算子的谱的分形维数；Thue-Morse哈密尔顿算子的谱的分形维数；Sturm 哈密尔顿算子的传播指数；常型Sturm 哈密尔顿算子的状态密度测度。分别获得如下成果：(1) 对所有的频率，我们得到了Sturm 哈密尔顿算子的谱的Hausdorff维数和盒维数的精确公式，并证明维数函数关于势强度Lipschitz连续，我们还得到维数函数在势强度趋于无穷时的渐进行为。(2) 我们证明Thue-Morse哈密尔顿算子的谱的Hausdorff维数有一个绝对正下界，这是该算子谱的维数方面的第一个结果，且该结果与Sturm 哈密尔顿算子的谱的维数形成鲜明对比。(3) 对（Lebesgue测度）几乎所有的频率，我们得到Sturm 哈密尔顿算子的传播指数的上界估计，其是目前最好的估计。(4) 我们证明，对常型Sturm 哈密尔顿算子，其状态密度测度是一个Gibbs测度，并且具有重分形结构。..这些结果加深了我们对具准周期势的薛定谔算子的谱的理解，揭示了好几个新的现象。例如，对Thue-Morse算子的谱的维数的绝对下界的证明，完全出乎专家的意料，因为对Sturm模型，一个熟知的现象是，维数会随势强度的增加而趋于零。另一方面，我们证明常型Sturm算子的状态密度测度是一个重分形测度，这也是非常新奇的现象，这个研究直接把重分形和离散薛定谔算子两个方向联系起来了。