叶状流形几何若干问题研究

In differential geometry it is important to know the properties, structures and classifications of the manifolds and submanifolds. There are many applications for the theories of the foliated manifolds and submanifolds, for instance, to research the foliated information manifolds, foliated symmetric properties of solution of differential equation, symplectic foliation, contact foliation, Finsler foliation, Kaehler foliation, characteristic classes and gauge theory of foliation, etc, which are strongly related to the geometry, algebra, analysis, topology, differential equations, etc. Using the field theory, algebraic structure, metric structure, principal bundle structure, kinematics, transformation group, etc, we study general theory of the foliations, especially, some special foliated manifolds and submanifolds, for examples, manifolds or submanifolds foliated by sphere, totally umbilic or geodesic submanifold. We try to find the intrinsic or extrinsic invariants of the foliations, the relations between the properties and structures of the manifolds and the invariants of the foliations. Using geometric methods we try to find the way to study the properties, structures and classifications of the foliations, especially the invariants of the foliations.

流形与子流形的结构和性质及分类是现代几何研究的重要任务之一。叶状流形是一种具有特殊结构的流形，研究这种流形有着十分重要的理论意义和广泛的应用前景，如了解叶状信息流形，微分方程解的叶状对称性质，叶状辛结构、切触结构、芬斯勒结构、复结构、叶状结构的特征类与规范理论等等。叶状流形与子流形的研究涉及几何、代数、分析、拓扑等诸多数学领域。我们将利用场论、代数结构、度量结构、主丛结构、运动学和变换群等研究叶状流形与子流形，尤其是某些特殊的叶构成的叶状流形和叶状子流形，如球叶、全脐或全测地叶等。通过研究流形与子流形的几何性质与结构及方法确定某些叶状结构的内在与外在不变量，流形性质和结构与叶状不变量之间的各种关系，探求用几何结构与性质研究叶状结构与性质及其分类，特别是叶状不变量的方法。

流形与子流形的结构和性质及分类是现代几何研究的重要任务之一。叶状流形是一种具有特殊结构的流形，研究这种流形有着十分重要的理论意义和广泛的应用前景。叶状流形与子流形的研究涉及几何、代数、分析、拓扑等诸多数学领域。我们利用场论、代数结构、度量结构、主丛结构、运动学和变换群等研究叶状流形与子流形，尤其是某些特殊的叶构成的叶状流形和叶状子流形。通过研究流形与子流形的几何性质与结构及方法确定某些叶状结构的内在不变量与外在不变量，流形性质和结构与叶状不变量之间的各种关系，探求用几何结构与性质研究叶状结构与性质及其相关的分类，特别是叶状不变量的方法。.本课题严格按照项目的规划执行，达到了各项预期目标，完成了各项计划任务。在类光曲线、空间型曲线、直纹圆纹叶状曲面、仿射曲面、调和形式与分叶结构、锥几何、仿射几何等方面做了一些工作。项目组4年发表22篇标注基金号论文。20名硕士研究生毕业，一名博士研究生毕业。负责人刘会立合计招收4名博士研究生，招收10名硕士研究生。项目组成员杨云合计招收7名硕士研究生，于延华招收3名硕士研究生。项目组成员钱若云获国家公派留学基金资助于2013年10月至2014年9月赴韩国庆北大学学习一年。项目组成员于延华获国家公派留学基金资助于2015年7月至2016年6月赴美国IOWA大学学习一年。到韩国讲学、参加学术会议4人次，国内访问、参加学术会议12人次；邀请韩国、日本、美国等国外学者来东北大学讲学13人次，邀请国内学者来东北大学讲学4人次。.主要标志性成果：（1）空间型曲线与曲线的仿射结构与度量结构描述；（2）直纹曲面的微分不变量，直纹叶状结构的几何与运动学特征刻画；（3）完备分叶黎曼流形上基本调和形式的消失定理；（4）null曲线的表示公式与仿射平移曲面的相关分类；（5）一些具有典型代数或几何特征的曲线、曲面的分类。