子流形几何中若干问题的研究

子流形几何是微分几何的一个重要组成部分。目前，对于空间形式中的常平均曲率子流形、常数量曲率子流形的研究已经有许多漂亮的结论，但也留下很多重要的问题一直未被解决，原因之一是没能构造出合适的反例。另一个现象是，高阶平均曲率越来越受到重视，但对于常高阶平均曲率子流形的研究相对较少，因为有效的研究方法很少且相对困难。另外，对于流形上任意阶Laplace 算子特征值的研究也是微分几何中的一个重要课题。.综上所述，本项目拟在已有的工作基础上，对上述三类问题展开研究。主要研究内容包括三个方面：（1）构造具有特殊几何性质的子流形来回答一些公开问题。譬如构造欧氏空间中常数量曲率的嵌入超曲面的例子，试图完全解决几何学家Leite提出的问题；（2）研究空间形式中常高阶平均曲率子流形的几何与拓扑性质；（3）研究流形上任意阶Laplace 算子的特征值，给出它们的最优估计。

本项目主要研究子流形几何及特征值估计中的一些问题。构造并研究了具特殊几何性质的子流形，给出了刚性定理和分类定理，例如：给出了 self-shrinkers 的 gap 定理等；获得了一些算子的特征值的最优估计，例如：给出了 clamped plate problem 的有关特征值之和的上下界估计等。以上结果发表在 Trans. Amer. Math. Soc.; Calc. Var. Partial Differential Equations; J. Differential Equations; J. Geom. Anal. 等杂志上。