仿射与不定度量几何若干问题研究和应用

研究中心仿射与不定度量几何理论与方法及在信息与计算几何中的应用。中心仿射几何与浸入的规范不变量等的研究有着重要的关系，而不定度量早已出现在许多不同的领域。微分流形与度量结构及科达奇结构形成统计流形或称信息流形，其中不定度量结构和仿射，特别是中心仿射性质是它的重要特征之一。黎曼与伪黎曼结构，仿射结构，信息结构，及更一般的科达齐结构，是我们研究的重点。本项目在前期工作的基础上进一步深入研究仿射特别是中心仿射几何与不定度量几何相关理论和方法及一些科达齐结构几何，研究流形及其子流形的不同几何结构与性质。重点考察中心仿射微分几何中的规范不变量，仿射、信息、不定度量流形结构，共形与锥空间型子流形，共形平坦流形与对偶结构及几何奇异性等问题，在流形或统计流形研究中建立仿射微分几何、不定度量与共形、奇异性等的基本理论与方法，并作为几何理论与方法的应用，将其用于计算机信息图象处理技术中几何方法的研究。

本课题严格按照项目的规划执行，达到了各项预期目标，完成了各项计划任务。在圆锥曲线、圆锥曲面与子流形,直纹曲面与叶状结构,中心仿射曲线与曲面的几何,共形结构，叶状结构等方面做了充分的准备，在共形结构、锥几何、仿射微分几何，直纹叶状曲面、叶状复流形等方面做了一些工作。在特殊的曲线、曲面的性质与分类和凯拉叶状结构等方面发表了多篇论文，还有多篇论文已经投稿。得到国家自然科学基金委员会（NSFC）与韩国国家研究基金会（NRF）联合资助合作研究项目《黎曼与伪黎曼几何中的子流形与叶状结构》(2011.7-2013.6)的资助。2011年得到教育部直属高校聘请外籍教师重点项目的资助。2011年至2013年发表（或已经在线发表）论文18篇。到韩国讲学、参加学术会议3人次，国内访问、参加学术会议16人次；邀请韩国、日本、美国等国外学者来东北大学讲学（学术讨论）13人次，邀请国内学者来东北大学讲学（学术讨论）6人次。.主要标志性成果：.（1）锥曲线的表示公式，曲线的结构函数；.（2）类空、类时锥曲面表示公式，曲面的结构函数；.（3）几何方法解微分方程；.（4）直纹曲面的不变量，直纹叶状结构；.（5）一些曲线、曲面的分类。