曲线曲面造型中的一般基函数与非多项式空间问题研究

In this project, through to the blossoming of (q-, h) Bernstein basis function, we get a more general sense of Lototsky-type basis function, we study the general characteristics and applications of geometric modelling of the new basis function, obtain many features of this kind of basis function which superior to the classic Bernstein basis function in the curve (surface) modelling, particularly the Bezier curve (surface) constructed by this new basis is closer to the corresponding control polygons than the classic Bezier curve (surface), and by adjusting the function p(x), makes the L-Bezier curve (surface) approximate the control polygon to any degree, and apply the corresponding thoughts to spline space. At the same time, we study the approximation properties and convergence problems of Lototsky-type operators constructed by this new basis function, here we mainly use semigroup of operators and probability theory as the main technical means, and study semigroup expresses and asymptotic properties of all kinds of (q-, h-) Lototsky-type operators. Furthermore, we extend the new basis functions to general n homogeneous polynomial space and the non-polynomial space to discuss, study the Bernstein-type basis functions and problems of geometric modelling in general non-polynomial space.

本项目通过对(q-, h-)Bernstein基函数的开花，得到更一般意义上的Lototsky型基函数，研究新的基函数的一般特征与几何造型应用问题，得到这类基函数在曲线（曲面）造型表示中许多优于经典Bernstein基函数的特点，尤其体现在由它们构造的Bézier曲线（曲面）比经典Bézier曲线（曲面）更接近相应的控制多边形，并可通过调整控制函数p(x)，使得L-Bézier曲线（曲面）逼近控制多边形到任意程度，并将相应的思想应用于样条空间。同时研究这些新基函数产生的Lototsky型算子的逼近性质和收敛性问题，这里主要以算子半群和概率论为主要技术手段，研究各类(q-, h-)Lototsky型算子的半群表示公式和渐进性质。进一步，将这些新产生的基函数引申到一般的n次齐次多项式空间和非多项式空间的讨论，研究一般非多项式空间中的Bernstein型基函数及其几何造型问题。

本项目主要利用K-泛函、光滑模、半群泰勒展开、半群微分积分、Hile-Yosida定理以及各种不等式变形等分析技巧研究了与几何造型相关的若干正线性算子及其造型基函数的逼近性质和几何性质。研究了（1）一般型算子及基函数的逼近性质和几何性质：如广义的一元、二元λ-Bernstein算子及相应的λ-Bezier基函数以及Kantorovich型、Durrmeyer积分型变形式，基于Polya分布的Bezier型Lupas Kantorovich算子等等，这些算子的逼近性质和几何性质；还有基于Lototsky-Bernstein基函数的一元Lototsky-Bernstein算子的形状保持性质以及在非多项式空间U_n中讨论了广义的经典Bernstein算子Lototsky-Bernstein算子的收敛、单调性质等；利用二元Meyer-Konig-Zeller算子基函数，在三角域上研究了Meyer-Konig-Zeller曲面片的若干几何性质。（2）q型算子及基函数的逼近性质和几何性质：主要研究了一元(α,q)-Bernstein算子的若干几何性质；研究了二元(α,q)-Bernstein算子的逼近收敛性质；讨论了基于q-整数的λ-Bernstein算子的统计收敛性质并与经典Bernstein算子的收敛性进行比较；定义了(λ,q)-Bézier曲线、张量积q-Poisson曲面并研究了它们各自的几何性质。（3）p, q型算子及基函数的逼近性质和几何性质：主要讨论了[n]_(p,q)→∞的充分必要条件；对一类Kantorovich型二元张量积(p, q)-Bernstein-Stancu-Schurer算子、一类Chlodowsky型(p, q)-Bernstein-Stancu-Schurer算子以及一类Durrmeyer型(p, q)-BBH算子的收敛性质进行研究并给出数值例子。（4）其他内容：讨论了Lupas-Durrmeyer型算子以及λ-Bernstein算子的若干逼近性质。项目的很多研究结果是逼近论领域的重要补充，对曲线、曲面造型应用领域提供了理论基础和较有意义的参考价值。