复杂几何结构声子晶体高精度模拟的局部径向基函数无网格配点法研究

In this project, we develop an efficient numerical tool for the band structure computation of the elastic wave in periodic materials (phononic crystals) with a scatterer of arbitrary geometry based on local radial basis function collocation method (LRBFCM). The efficiency and stability of the LRBFCM for different elastic wave problems in periodical materials with a scatterer of arbitrary geometry shapes are presented. The project are followed by the following steps: Firstly, the improved numerical techniques based on the fictitious nodes method are proposed to deal with the instability caused by the derivative calculation in the LRBFCM at the interface of arbitrary geometry shapes. By doing this, the developed LRBFCM can be applied to the band structure of 2D phononic crystals with a scatterer of arbitrary geometry shape; Secondly, the band structure of 2D phononic crystals of different systems, such as solid-solid,solid-fluid, fluid-solid systems, are fully considered to present the efficiency of the developed LRBFCM. Based on the previous work in 2D case, the LRBFCM is further applied to the band structure calculation of 3D phononic crystals with a scatterer of arbitrary geometry shapes. The numerical results of the LRBFCM are validated by comparing with those results obtained by using other numerical methods. This project aims to offer a fast numerical tool for the analysis of the 3D periodic materials with a scatterer of arbitrary geometry.

本项目主要探索局部径向基函数无网格配点法在复杂几何形状的周期结构材料（声子晶体）弹性波频带结构中的应用，建立其快速有效的计算方法，从理论角度深入研究该方法在复杂几何结构的周期结构材料若干波动特性计算方面的有效性和优越性。主要内容包括：首先，通过改进虚拟点方法来解决好局部径向基函数无网格配点法在复杂几何边界上求解偏导数上所带来的不稳定性，探索二维复杂几何形状的周期结构材料弹性体波频带结构计算的新方法；在此基础上，针对固-固、固-流、流-固等混合体系，考查局部径向基函数无网格配点法在计算复杂几何形状的周期结构材料的波传问题的有效性。进一步将该方法推广应用于三维周期结构材料的体波能带结构的计算中；考虑三维复杂几何结构的声子晶体的能带结构计算；结合上述理论计算分析，通过与其他数值算法的结果进行比较，检验相关的理论结果。该项目的研究有望为三维复杂几何形状的周期材料结构提供新的快速有效的计算方法。

研究背景.在复杂的几何形状下，流固耦合的物理过程会相对复杂，因此需要发展一种高效的数值算法。局部径向基函数无网格配点法在声子晶体的能带结构计算上的高效性，尤其是在流固耦合问题中，其计算效率较传统的有限元有大幅度提高。而局部径向基函数无网格配点法不需要网格，在处理复杂几何形状的问题上有一定优势，发展复杂几何形状的声子晶体的能带结构计算，以及瞬态波传问题的局部径向基函数无网格配点法有着广阔的应用前景。.研究内容.针对较复杂几何结构的二维声子晶体，发展出一套自动有效的解决复杂几何结构声子晶体能带结构计算的方法；讨论三维声子晶体的局部径向基函数无网格配点法的求解，讨论三维复杂几何形状的声子晶体能带结构计算方案；考将局部径向基函数无网格配点法应用到三维复杂几何形状的周期结构的能带结构计算中；通过与其他方法对比证明讨论该方法的有效性。.重要成果.1，基于虚拟点法开发了一套稳定求解复杂几何形状的声子晶体的局部径向基函数配点法的求解器，相关成果发表在Applied Mathematical modelling（AMM）上.2，深入讨论了三维声子晶体的局部径向基函数配点法，以及三维复杂几何形状声子晶体的求解方案，相关成果在AMM期刊上。.3，通过和有限元对比，进一步验证了方法的有效性和合理性，相关成果分别发表在Journal of Computational Physic（JCP）和AMM.4，深入讨论了局部径向基函数的参数选取稳定性问题，以及非局部理论描述下的声子晶体的问题，相关成果发表在Advances in Applied Mathematics and Mechanics以及JCP上。.5，通过提高了局部径向基函数的稳定性，进一步扩展了该方法在其他问题中的应用，发表了TopSCI论文多篇.关键数据.通过该项目，我们在相关top期刊发表了论文10余篇，扩展了该方法在工程中的应用，提高了数值模拟方法的多样性。