不完全信息下信用风险的建模，定价以及对冲——基于非线性滤波理论

The project is concerned with modeling, pricing and hedging of credit risk under incomplete information using techniques from stochastic filtering. We develop of dynamic credit risk models leading to realistic dynamics of credit spreads and the dependence structure of default times. Under incomplete information the credit risk modeling leads to a nonlinear filtering problem in a natural way. Existing filtering results are not yet sufficient for the application to complicated problems in credit risk. The theoretical contribution of this project will be the development of new numerical methods. Our project will show the existence of the density of the unnormalized conditional distribution which is a solution to the Zakai equation. Zakai equation is a linear SPDE which, in general, cannot be solved analytically. We will apply Galerkin method to solve it numerically, show the convergence of Galerkin approximation, and design an adaptive Galerkin filter with a basis of Hermite polynomials for effectiveness. On the application side, our project will focus on the development of suitable pricing, calibration and hedging strategies, the analysis of portfolio-optimization problems, and finally testing of the model using simulated data and market data under incomplete information.

本课题以非线性滤波理论为工具，研究在不完全信息环境下，信用风险的建模，定价以及对冲问题。我们构建能够真实的刻画信用利差的动态变化和违约相关性的信用风险模型。由于信息不完全，信用风险建模转化为非线性滤波问题。现有的滤波理论不足以解决复杂的信用风险问题。理论研究方面，我们研究新的数值方法，完善和补充现有的非线性滤波理论。本课题拟应用Galerkin数值方法来求解该滤波问题。我们证明状态过程的条件密度为由扩散和泊松观测过程驱动的Zakai方程的解。Zakai方程是线性的抛物线型随机偏微分方程，不存在解析解。本课题求其Galerkin数值解，证明其收敛性，并设计自适应的以Hermite 函数为基函数的Galerkin滤波器以提高效率。应用研究方面，我们将研究不完全市场信息下的动态交易的信用衍生品的定价，校正和对冲策略；制定投资者的最优组合投资策略；用计算机仿真数据和实际的市场数据来验证模型和理论。

在不完全信息环境下，为了研究信用风险衍生品组合投资的动态变化，我们需要解决某非线性滤波问题。本课题我们以非线性滤波理论为工具，解决了在不完全信息环境下，信用风险的建模，定价以及对冲问题。我们构建了能够真实的刻画信用利差的动态变化和违约相关性的信用风险模型。由于信息不完全，信用风险建模转化为非线性滤波问题。现有的滤波理论不足以解决复杂的信用风险问题。理论研究方面，我们研究了新的数值方法，完善和补充现有的非线性滤波理论。我们首先运用变换测度的方法来解决这个非线性滤波问题。我们将证明非标准化分布的密度存在性，并且证明该密度为由为由扩散和泊松观测过程驱动的Zakai方程的解。Zakai方程是一个线性的随机偏微分方程。一般的来讲，我们无法得到它的解析解。课题理论方面的贡献在于研究其新的数值解。我们通过Galerkin方法来得到它的数值解，并且证明该数值解在均方的意义下收敛于Zakai方程的真解，我们选用Hermite 多项式而不是高斯函数作为奇函数。观测过程如果突然变化，比如跳跃，密度函数的中心和散度会随之变动。在本课题的研究中，我们将针对该问题设计自适应的Galerkin滤波器来优化Galerkin数值方法，并通过计算机仿真实验的方法来说明该方法的有效性。应用研究方面，我们研究了不完全市场信息下的动态交易的信用衍生品的定价，校正和对冲策略；制定了投资者的最优组合投资策略；并且用计算机仿真数据和实际的市场数据验证了模型和理论。