非线性微分方程奇异摄动系统及边值问题

Nonlinear singularly perturbed systems and boundary value problems of differential equations are very active subjects in mathematics, which have important application in the background. We will study the following research in the project： Firstly, we will study homoclinic orbit, heteroclinic orbits, bifurcations and chaotic phenomena of complex singularly perturbed differential systems, fast-flow systems and high-dimensional dynamical systems. We also study nonlinear singularly perturbed systems with time delays and reveal some complex properties. Secondly, by applying geometric singular perturbation theory and bifurcations theory, we study the existence of traveling wave solutions and the properties of exact traveling wave solutions for KdV equations and Schr?dinger equation with small delays. Thirdly, by employing nonlinear analysis theory and center manifold theory, we study the complex dynamical properties, such as stability, bifurcations of periodic solution and global asymptotic stability for perturbed multispecies competition-predator systems with multiple time delays and reaction-diffusion equations with perturbations. Finally, by using singularly perturbation methods and Morse theory, we study the existence and uniqueness of perturbed solutions for nonlocal singularly perturbed boundary value problems of differential equations. This project will develop nonlinear singularly perturbed systems and boundary value problems of differential equations and has great significance.

非线性微分方程奇异摄动系统和边值问题是当前一个非常活跃的课题,具有重要的应用背景，本项目拟开展如下研究： 1、研究复杂奇异摄动微分系统、快慢动力系统和高维动力系统的同异宿轨道、分支及混沌现象，讨论非线性时滞微分方程奇异摄动系统某些复杂性质。2、运用几何奇异摄动理论和动力系统分支理论，研究含有小时滞的KdV方程和Schr?dinger方程行波解的存在性以及精确行波解的性质。3、运用非线性分析理论和中心流形定理等研究具有扰动的多时滞种群捕食竞争系统和扰动反应扩散方程的稳定性、分岔周期解稳定性和全局渐近行为等复杂性质。4、运用奇异摄动方法、Morse 理论研究非线性微分方程奇异摄动非局部边值问题渐近解的存在性、唯一性等。 本项目将对非线性微分方程奇异摄动系统和边值问题的研究发展起促进作用，具有重要的意义。

非线性微分方程奇异摄动系统以及边值问题是当前一个非常活跃的课题，具有重要的应用背景，本项目研究以下内容：研究扰动Camassa-Holm方程孤波解的存在性。首先研究不含扰动Camassa-Holm方程的孤波解存在性；再将不变流形定理与几何奇异摄动理论相结合，得到带有局部时滞CH方程孤波解的存在性；最后通过几何奇异摄动理论与Melnikov函数判别法，证明带有非局部时滞的CH方程行波解的存在性；运用几何奇异摄动理论，研究含有小时滞的KdV方程行波解的存在性；运用非线性分析理论研究具有扰动的多时滞种群捕食竞争系统和扰动反应扩散方程的稳定性、周期解稳定性和全局渐近行为等复杂性质。研究非线性微分方程奇异摄动非局部边值问题渐近解的存在性、唯一性等。在J. Funct. Anal., J. Differential Equations, J. Math. Biol., Nonlinear Anal.Real World Appl., Nonlinear Dyn., Qual. Theory Dyn. Syst.等期刊上发表论文16篇，其中1篇论文2018年被Web of Science列为ESI高被引论文。. 指导16名研究生，其中8名研究生毕业，指导研究生获得江苏省普通高校研究生科研创新计划项目3项、江苏省和江苏师范大学优秀硕士学位论文各2篇；选派5名硕士研究生到加拿大约克大学进行3个月的学习交流，拓宽了国际学术视野。2016年承办了第十届应用动力系统新进展国际会议，来自国内外140余所高校的专家学者近400人参会；主办2018徐州常微分方程与动力系统研讨会，来自国内外近40所高校的80余位专家学者和研究生参会。. 本项目对非线性微分方程奇异摄动系统和边值问题的研究发展起促进作用，具有重要的意义。