与Bergman核相关的几类积分算子的研究

The project deals with several classes of integral operators related to Bergman kernel with paying attention to the application and the combination of Functional Analysis、Differential Geometry、PDE and Harmonic Analysis in the research of function spaces and operator theory. First, we will study the theory of Forelli-Rudin operators over Siegel upper half-space. We are going to establish the boundedness of a class of integral operator related to Bergman projection from L^p to L^q space under classical weights and give the accurate L^p norm of Bergman projection on L^p space under general weights. Second, we will study the boundedness、the compactness and Schatten class of Berezin-type operator from Bergman space A^p to L^q space. At last, we will calculate the essential norm of Toeplitz operator on weighted Bergman space under general radial weights, and develop the theory of Hankel operator on weighted Bergman space under general radial weights.

本项目主要研究对象是与Bergman核相关的几类积分算子,注重泛函分析、微分几何、PDE、调和分析等现代数学分支在函数空间与算子理论方向的应用与融合.首先,研究Siegel上半空间上的Forelli-Rudin算子理论,建立与Bergman投影相关的一类积分算子从经典权函数空间L^p到L^q的有界性,给出Bergman投影在一般权函数空间L^p(u)上的精确范数.其次,研究Berezin型算子从Bergman空间A^p到L^q空间的有界性、紧性、Schatten类.最后,给出Toeolitz算子在一般径向权Bergman空间上的本性范数,开展Hankel算子在一般径向权Bergman空间上的理论研究.

本项目以Forelli-Rudin型算子、Toeplitz算子为主要研究对象,同时拓展了alpha-调和函数的Bohr现象与不同维不定双曲空间之间的全纯等距嵌入的研究.取得的主要结果主要体现在以下四个方面:一是研究了Forelli-Rudin型算子的L^p有界性、L^p-L^q有界性与精确L^p范数,这包括C^n中单位球上的两类Forelli-Rudin型算子的L^p-L^q有界性刻画;Siegel上半空间上的一类Forelli-Rudin型算子的精确L^p范数;区间(0,1)上一类与超几何函数相关的Forelli-Rudin型算子的L^p有界性与精确L^p范数.二是研究了Toeplitz算子理论,刻画了规范权Bergman空间上的Toeplitz算子的本性范数.三是证明了alpha-调和函数的Bohr现象并给出了其Bohr半径.四是刻画了不同维不定双曲空间之间的全纯等距嵌入.本项目的研究结果不仅丰富了多复变函数论的研究成果,而且也为后续的研究工作奠定了基础. . 经过三年的努力工作,本项目按计划圆满完成,取得了预期的成果.项目组在《J. Func. Anal.》、《J. Math. Anal. Appl.》、《Acta Math. Sci.》、《Adv. Math.》、《中国科学》等国内外期刊上发表相关学术论文6篇；其中SCI收录4篇,一级刊物论文2篇.