几类积分算子的有界性及其应用

In this proposal, we will investigate the boundedness of some integral operators and their application. Firstly, we will consider the sharp weighted bounds for some multilinear maximal operators, multilinear singular integrals and multiliear maximal singular integrals. For example, the sharp weighted boundednss of some variation multilinear maximal operator, multilinear singular integrals with non-smooth kernels and multilinear maximal singular integrals with non-smooth kernels on product Lebesgue spaces. Secondly, we are concerned with the qualitative properties, such as symmetry, uniqueness and decay behavior, of solutions of integral equation (system) related to the fractional elliptic operators.

本项目研究几类积分算子的有界性及其应用。首先研究各类多线性极大算子、多线性奇异积分算子、多线性极大奇异积分算子的多权混合sharp加权有界性，如：一些变形的多线性极大算子、具有非光滑核的多线性奇异积分算子、多线性极大奇异积分算子在加权乘积Lebesgue空间上的sharp加权有界性等。其次研究与分数阶椭圆算子相关的积分方程（组）解的对称性、唯一性、衰减性等性质。

本项目研究的内容包括下面两个方面：.一、算子有界性方面.首先研究了与Schrodinger算子相关的Marcinkiewicz积分算子在Lebegue空间、Hardy空间、BMO型空间上的有界性，建立了与Schrodinger算子相关Marcinkiewicz积分交换子在Morrey空间上的的强型和弱型估计。其次研究了与具有非光滑核的奇异积分算子相关的Toeplitz算子的\lambda-中心BMO估计..二、方程方面的内容.首先讨论了与分数阶椭圆算子相关的积分方程解的性质，包括与Bessel位势相关的带Hardy项的积分方程组解的性质，证明了该方程组的每一正解都是径向对称的和单调递减的，同时还证明解的Holder连续性；考虑Heissenberg群上与Riesz位势核相关的带Hardy项的积分方程组解的性质，证明了属于一类乘积Lebesgue空间上的解是有界的且在无穷远衰减到零。其次，探讨了两类分数阶Laplace方程解的存在性。包括有界域上带Heron项、具有临界指数的分数阶Laplace方程的特征值问题，证明了当参数\lambda介于两个特征值且Henon项指数很小时该方程基态解的存在性；此外，考虑了带凹凸项的分数阶Laplace方程，证明了该方程在临界和次临界情形下至少有一个非平凡解，特别地，在次临界情形下方程有无穷多个解。最后研究了一类与离散的加权Hardy-Littlewood-Sobolev不等式相关的Euler-Lagrange方程组解的最佳存在区间以及解的非存在性问题。