多参数奇异积分算子的加权有界性

In this program, we first establish the theory of spaces associated to composition of two operators with different singularity. It includes the pre-dual and dual spaces of Hardy spaces, dual spaces of weighted Triebel-Lizorkin spaces. Different from the dual of one-parameter Triebel-Lizorkin space, here we need to discuss two cases: 0 < p ≤ 1 and 1 < p< ∞. Secondly, based on the establishment of Journé covering lemma related to composition of two operators with different singularity, we study the boundedness on Hardy spaces and Triebel-Lizorkin space of these kind of composition operators. Thirdly, we establish the theory of multi-parameter local Hardy spaces and mixed Hardy spaces. Study the equivalence of definitions of mixed Hardy space by different kinds of maximal functions, the boundedness of composition of two operators with different singularity on these local and mixed Hardy spaces, and find the pre-dual and dual spaces of the mixed Hardy space as well.

首先建立与不同奇性算子复合相关的空间理论。涉及与不同奇性算子复合相关的Hardy空间的预对偶空间以及与不同奇性算子复合相关的加权Triebel-Lizorkin空间 的对偶空间等。不同于单参数情形，加权Triebel-Lizorkin空间的对偶空间需要分两种情况来考虑：0< p ≤ 1与 1 < p<∞。其次，在建立与不同奇性算子复合相关的Journé覆盖引理的基础上，研究两个不同奇性的非卷积型算子的复合算子在Hardy空间上的有界性、在Triebel-Lizorkin空间上的加权sharp界等。第三，建立多参数局部Hardy空间理论及混合型的Hardy空间理论。研究各类极大函数定义的多参数混合型Hardy空间之间的等价性，建立不同奇性的非卷积型算子的复合在这类Hardy空间上的有界性及多参数局部Hardy空间、混合型的Hardy空间的预对偶空间理论。

近代调和分析，经典奇异积分算子理论沿着多个方向发展。方向之一是卷积型奇异积分算子被非卷积型奇异积分算子所替代，从单参数向多参数奇异积分发展是另一个方向。本课题借助Calderon再生公式，定义离散型局部Hardy空间，证明它与经典局部Hardy空间等价，并建立了局部Hardy空间的原子分解及几种等价的对偶空间，将相关结果推广至多参数的局部Hardy空间，得到参数奇异积分算子、拟微分算子等在此局部Hardy空间上的有界性。同时建立了多参数混合型Hardy空间的原子分解理论和对偶空间理论，并得到了Journé型奇异积分算子在混合型Hardy空间有界的充要条件。还初步建立了加权多参数Triebel-Lizorkin空间及其对偶理论。另外，本课题还讨论了多线性Calderon-Zygmund算子在变指数Herz空间和Morrey-Herz空间的有界性，讨论了在微分方程中的一些应用。