用小波分析乘子空间和非线性量的微局部结构

Many mathematicians concern how to deal with some linear and non-linear problems in more precise real methods. By analyzing the micro-local structure of wavelet decomposition, we study two problems (properties of multiplier spaces and generalized Hardy spaces) which are independent but also related to each other. The real analysis skills developed form this project could be used to the study of non-linear harmonic analysis, including partial differential equations (for example, Navier-Stokes equations, Schr?dinger equations). In recent years these problems attract lots of harmonic analysts and scholars engaging in partial differential equations. We find out that functions in generalized Hardy spaces have special micro-local structure. We transform the study of the continuity of multipliers on function spaces to the norm estimates of some bilinear operators on the set consisting of special "good" functions, i.e.,combinational atoms. Although the set consisting of these "good" functions is not dense in given spaces, but the set of all the combinations of these "good" functions is dense. Wavelets themselves may have high order vanishing moments, but the product of scale function and wavelet may not. To different problems, we may use both Meyer wavelet and Daubechies wavelet at the same time or use only one of them. By combinational atoms, special decomposition of operators and functions product, micro-local structure of functions, and some other new techniques, we could solve the problems arised in this project.

如何用更精确实分析技巧来处理一些线性和非线性问题是大家很关切的问题，本项目通过对小波展开式进行微局部分析来研究调和分析及相关课题的两个既独立又相关的公开问题（乘子空间，广义Hardy空间），发展的实技巧能用到包括偏微分方程在内的非线性调和分析研究中去。这些问题是近年来调和分析极为活跃的课题，也受到研究偏微分方程的学者关注。广义Hardy空间中的元素具有特殊的微局部结构。乘子在函数空间上的连续性在此转化成研究特殊双线性算子在一些特殊的好函数集即组合原子上的特殊范数估计，这些特殊函数的集合在所给定的空间虽不是稠密的，但它们的线性组合却在所研究的函数空间里稠密。小波本身可以有高消失矩，但小波函数的乘积未必有；我们将依照问题不同，或同时使用Meyer小波和Daubechies小波，或使用其中之一，借助组合原子、算子的特殊分解、函数乘积的特殊分解和函数在微局部的特殊结构等新技巧解决本课题提出的问题。

主要研究：1.通过研究广义Hardy空间的微局部量，得到了Morrey空间的预对偶空间的两种小波刻划；用Meyer小波刻划了乘子空间X_(r,p)^t，引进对数Morrey空间M_(r,p)^(t,τ)，建立Morrey空间与乘子空间的包含关系，运用分形技巧构建反例，说明我们结论中M_(r,p)^(t,τ)空间中指数τ是最佳的；借助Meyer小波理论，用Hilbet变换刻划了Triebel–Lizorkin空间；应用小波研究了两类调和函数空间：加权Besov空间和Carleson空间，用再生公式，证明了这些空间中的调和函数可以由Besov-Q 空间中函数的Poisson积分刻划；用微局部量刻划Q_α (R^n)的预对偶空间结构，得Q空间Q_α (R^n)的Fefferman-Stein分解。2.构造Heisenberg群上的一组具有紧支集的正交小波，借助于小波的正则性，用小波刻划了一些函数空间，如BMO空间，Hardy空间，Besov空间和Besov-Morrey空间等；研究了第一代Calderon- Zygmund算子的速算法；建立了带粗糙核的算子在Besov空间及Triebel-Lizorkin空间上的连续性。3.作为乘子空间小波刻划的应用，讨论了位势函数属于对数Morrey空间时，Schrödinger型方程解的唯一存在性。通过建立Besov型Morrey空间的小波刻划，得到了当初始函数属于某些齐次Besov型Morrey空间时，广义Navier-Stokes方程光滑解的适定性；借助于小波分析和多尺度分析，得到了初值在Besov -Q空间B_(p,p)^(γ_1,γ_2 ) (R^n)中时准地转方程的适定性；建立了带Besov-Q中小的初值的改良的Navier -Stokes方程解的整体存在和唯一性。4.引入具有任意多个参数的加权Triebel-Lizorkin空间和Besov空间概念，建立其原子分解理论；应用Frazier和Jawerth方法，建立其对偶空间理论，证明了奇异积分算子在这些空间上的有界性。5.定义了一类带变指数的Morrey-Herz空间，研究了次线性算子（包括H-L极大算子、位势算子、Calderón-Zygmund算子等）及其与BMO函数、Lipschitz函数生成的交换子在变指数Morrey-Herz空间上的有界性。6.椭圆方程的爆破解。