奇异积分算子在一些Hardy型空间上的有界性研究

In this project we will study the boundedness of some singular integrals on the Herz type Hardy spaces or the Hardy-Morrey spaces. For example, the Calderón commutator，the Cauchy integral operator and the singular integrals with variable kernels and its commutators. Especially, we focus on the following two problems: .1. The boundedness of the Cauchy integral operator on the Hardy type spaces.To prove our theorems, we will introduce generalized atoms, molecules and consider a variant of “Tb theorem”, and furthermore we will have a further estimate at the endpoint..2. The boundedness of the singular integrals with variable kernels and its commutators on the Hardy type spaces. We will have a comprehensive utilization of the atomic and molecular theory, sphere harmonic function and other methods, and furthermore we will apply these boundedness results to the second order elliptic operator with non-divergence form.

本项目致力于Calderón交换子与Cauchy积分算子、带变量核的奇异算子及其交换子等几类奇异积分算子在Herz型Hardy空间与Hardy-Morrey空间上的有界性研究。我们的研究重点有二：.1．考虑Cauchy积分算子在这些Hardy型空间上的有界性情况。我们将在这些Hardy型空间上引入一般化的原子与分子概念，并建立变形的“Tb定理”等，同时在端点情形做更精细的估计。　.2．考虑带变量核的奇异积分算子及其交换子在这些Hardy型空间上的有界性情况。综合利用原子与分子理论、球面调和函数的性质等方法做精细的估计，并进一步把这些有界性结果应用于非散度型二阶椭圆方程的正则性问题中。

在本项目的资助下，我们主要得到了以下结果：.1．证明了Cauchy积分算子、Calderón交换子及其高阶交换子从加权Herz型Hardy空间到加权局部Herz型Hardy空间有界，上述结果即使在不加权的情形都是新的。同时构造反例证明了Hilbert变换在局部齐次Herz型Hardy空间以及局部Hardy空间上不一定有界，并说明了这个结果对Cauchy积分算子、Calderón交换子及其高阶交换子同样成立。.2. 证明了强奇异Calderón-Zygmund算子及其交换子在Hardy型空间上的有界性。.3．证明了球面Poisson积分从Lebesgue空间或有界Borel测度集到Lorentz空间上的有界性，并且构造反例说明了Lorentz空间中指标的最优性。.4．证明了一类广义Cohen-Gosselin型分数次奇异积分交换子在中心Morrey空间上的有界性。