非线性椭圆和抛物型变分不等式的最优控制

As a significant research branch of partial differential equations, variational inequality has wide applications in applied mathematics, mechanics, operational research and engineering sciences. In this project, we aim to study some optimal control problems governed by elliptic and parabolic variational inequalities. Their key features are as follows. First of all, the state systems are described by nonlinear elliptic and parabolic variational-hemivariational inequalities. Secondly, the cost functionals of the control problems are nonconvex and nonsmooth. Finally, the control variables are chosen as the source, obstacle or boundary functions. Since the state systems are governed by nonlinear inequalities and the cost functionals are nonsmooth and nonconvex, they are typical nonconvex and nonsmooth optimal control problems. By using the theories of nonsmooth analysis, variational-hemivariational inequalities, nonlinear analysis and optimal control of partial differential equations, and developing methods and techniques for noncovex and nonsmooth optimal control problems, we aim to study the existence of optimal solutions to the aforementioned optimal control problems, derive the corresponding necessary optimality conditions of first order and establish the optimality systems.

变分不等式是偏微分方程的重要研究分支，它在应用数学、力学、运筹学、经济学、工程科学中具有极其广泛的应用。本课题研究椭圆和抛物型变分不等式的若干最优控制问题，其主要特征如下：(1)受控状态系统是拟线性椭圆型和抛物型变分、H-半变分不等式；(2)目标函数为非光滑、非凸泛函；(3)控制变量为源函数、障碍函数或者边界函数。由于状态系统由非线性不等式所刻画并且罚函数非凸、非光滑，它们是典型的非凸、非光滑最优控制问题。本课题拟结合非光滑分析、变分—H-半变分不等式、非线性分析、偏微分方程的最优控制等理论，发展非凸、非光滑最优控制问题的研究方法和技术，研究上述最优控制问题最优解的存在性，推导最优解的一阶必要最优条件，建立最优系统。

变分不等式是偏微分方程的重要研究分支，在过去的几十年里，它被广泛应用于应用数学、运筹学、力学以及工程科学中的实际问题。本项目研究了几类椭圆和抛物型变分不等式的最优控制问题。由于受控状态系统是非线性变分、H-半变分不等式，此类问题的控制—状态映射通常不可微。本项目结合非光滑分析、非线性分析、偏微分方程的最优控制等理论，完成了课题研究内容，并取得了一些重要结果：针对拟线性椭圆变分不等式的最优控制问题，在控制变量为障碍函数本身，且目标函数是非光滑、非凸泛函的情形下，我们发展了一些非凸、非光滑问题的研究方法和技术，证明了最优控制的存在性，并推导出最优解的一阶必要最优性条件；针对更复杂的抛物型变分不等式的边界最优控制问题，通过光滑逼近和提升解的正则性，建立了控制-状态映射的Lipschitz连续性及其弱意义下方向可微性，推导出伴随状态方程和最优性条件，建立了控制问题的最优性系统。研究工作发展/推广了国内外知名专家的已有相关研究结果，促进了变分不等式最优控制理论的研究和发展。